Top 3 wiskunde-ergernissen

Door witeken op maandag 28 maart 2016 17:00 - Reacties (16)
Categorie: -, Views: 5.757

(Het feit dat er geen hoofdletters zijn voor cijfers niet meegerekend...)

Drie wiskunde-ergernissen

In mijn vorige twee blogs over e en calculus heb ik het over het beste van wiskunde gehad. Nu komt het slechtste aan bod. Merk trouwens telkens op dat het probleem niet aan de wiskunde ligt, maar aan de menselijke representatie ervan.

3. Sommatieteken
Deze lijst start meteen al met een erg lage noot: het sommatieteken. Ten eerste is het een log en onelegant symbool. Maar ten tweede en voornaamste is het totaal onbruikbaar, waardeloos en verwarrend. Het enige nut dat het teken immers heeft is voor luie wiskundigen om hun notatie te verkorten. Maar in tegenstelling tot andere notaties in de wiskunde maakt dat het er niet beter op. Waarom? Omdat alleen computers iets met die notatie kunnen. Dat is het punt: het is onleesbaar. Als je een uitdrukking ziet met dat symbool begrijp je er helemaal niets van. Je ziet dat teken en het enige dat je weet is dat je een gaziljoen termen zal moeten optellen, maar never mind om uit te zoeken welke precies. De enige manier om te begrijpen waar het voor staat is… door het voluit te schrijven. Maar dat doet natuurlijk het hele nut ervan teniet.

Vergelijk trouwens met het mooie en elegante integratieteken <3.

Voorbeeld: binomium van Newton.

http://www.masterandmargarita.eu/images/02themas/binomium.jpg

2. Vierkantswortel
Het gaat van kwaad naar erger. Sommatietekens komen relatief weinig voor, maar met vierkantswortels word je constant geconfronteerd. Een afzichtelijke naam voor een nog lelijker notatie.

De vierkantswortel is niet alleen verwarrend qua notatie en pijnlijk om mee te werken omdat je in plaats van de oude vertrouwde geliefde haakjes een hoedje boven je wortel moet tekenen, al is dat nog het minste van je zorgen. Daarnaast verbergt het teken echter de pracht die eronder schuilgaat: namelijk de symmetrie ten opzichte van het heffen tot machten. Meer nog, de vierkantswortel is simpelweg niets meer dan het heffen tot een macht, namelijk tot de ťťn tweede. Maar toch wordt als standaardnotatie niet geaccepteerd dat je breuken in je exponent schrijft. Waarom? Is het punt van wiskunde niet net om steeds te abstraheren. Waarom mogen de natuurlijke exponenten dan niet tot irrationele geabstraheerd worden?

Hier nog een laatste praktisch bezwaar ertegen: het is pijnlijk om met wortels te rekenen. Hetzelfde geldt trouwens voor negatieve exponenten die als breuken met positieve exponenten geschreven worden. Het gebruik van het wortelteken vraagt gewoon om rekenfouten. Die zou je niet krijgen als je gewoon 1/2 als macht zou gebruiken.

Om trouwens nog maar te zijgen van hogeremachtswortels. Nee, bedankt.

http://riazidan.weebly.com/uploads/1/0/0/7/10075002/trig_ratios_of_standard_angles.jpg

1. Pi

http://k36.kn3.net/taringa/1/0/5/6/2/1/03/niggaplx/CFF.jpg?4618

In de wiskunde gebruikt men geen graden maar radialen. Bij een radiaal start je rechts op de cirkel en ga je exact de straal van de cirkel rond de omtrek in tegenwijzerzin. Dat blijf je doen tot je terug aan het begin bent. Het blijkt dat er twee pi radialen zijn, omdat de omtrek van een cirkel immers 2pi keer de straal is. De straal past met andere woorden twee pi keer in de omtrek.

Dit is echter belachelijk: pi heeft niets met de straal, waarmee bij radialen gerekend wordt, te maken, maar met de diameter. En nog idioter is dat je dus met 2pi moet rekenen per rondje rond de cirkel. Zou de wereld niet normaler zijn als de omtrek in ťťn eenheid zou doortrokken worden? Als je dan een kwart van een cirkel wilt aanduiden, zou je spreken over tau/4 radialen. Nu is een kwartcirkel gelijk aan pi/2 radialen. Waanzin.

Het was onlangs trouwens pi-dag. Voor nog meer discussiemateriaal verwijs ik naar een aantal video’s van Numberphile en Vihart:

YouTube: Tau replaces Pi - Numberphile
YouTube: Tau vs Pi Smackdown - Numberphile

YouTube: This Pi Day is Round
YouTube: Anti-Pi Rant, 3/14/15

Maar het ťchte probleem is dit – alsof het vorige nog niet irritant genoeg was. De oplossing die men ziet om tau aan de wereld bekend te maken is door het eerst in tekstboeken als alternatief te vermelden, en gezien het nut ervan zal het steeds meer en meer aanslaan tot de momentum zo groot is dat tau ook als evenwaardig of beter onderwezen zal worden.

Echter, dit kan onmogelijk de oplossing zijn. Waarom? Omdat tau helemaal niet gelijk is 2 pi!

Dat zou immers nog steeds de omgekeerde wereld zijn. Kijk nog eens goed naar de afbeelding. Is het niet overduidelijk dat pi twee benen heeft, terwijl tau, dat dubbel zo groot zou zijn, maar de helft van de benen heeft?! Belachelijk.

Exact, en dat is ook waarom er al veel vroeger (zo leert Wiki), voor de seminale paper in 2001 van Bob Palais [“Pi is wrong!”, http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf], al voorstellen waren om tau te introduceren in de wiskunde… als de helft van pi.

Pi veranderen naar 6.28… zou dus niet alleen wiskundig logischer zijn, maar esthetisch ook veel aangenamer.

Pi = 2.Tau = 6.28318530718…

(En zo hebben de voorstanders van pi ook een compromis.)

Extra: lading in de fysica
Okť, even buiten beschouwing gelaten dat de lading van protonen als plus en elektronen als negatief sowieso al arbitrair is, maar waarom blijft men maar aan de oude conventie vasthouden dat stroom een positief transport van protonenladingen is? Telkens hoor je dan leerkrachten en professoren zeggen dat men dat dit niet logisch is maar dat men dit doet om historische redenen. Het grappige is dat letterlijk ťlke onderwijzer dit zegt. Waarom verandert men die conventie dan niet als letterlijk iedereen het er mee eens is? Een interessant voorbeeld van ‘het systeem’ dat mensen in haar greep houdt en tot traagheid leidt.

Er zijn natuurlijk nog veel andere voorbeelden hiervan. Als je er eentje hebt, drop die dan in de comments.

Het getal e

Door witeken op dinsdag 16 februari 2016 08:00 - Reacties (10)
Categorie: -, Views: 4.658

(Wie omwille van de wiskundige vergelijkingen liever een pdf-versie leest: klik hier.)

De betekenis van het getal e

Het getal pi dat iedereen kent is genoemd naar de zestiende letter uit het Griekse alfabet. In dit blogje wil ik de betekenis van de minstens even belangrijke constante e uitleggen op een manier die hopelijk de merkwaardigheid ervan laat aanvoelen. Als je al weet wat e is (die kans is reŽel, pun), vergeet dan even alles wat je erover weet. Dit is voor een deel een vervolg op mijn vorig artikel ‘Calculus in 1000 woorden’.

De basis: Algebra – exponentiŽle en logaritmische functies
Maar eerst even de basis opfrissen. Wanneer je een getal hebt, kan je daar twee elementaire bewerkingen mee doen: je kan er bij elke stap een vast getal bij optellen, of je kan het getal met een vast getal vermenigvuldigen. Zo krijg je respectievelijk een zogenaamd rekenkundige rij of een meetkundige rij. Wat mensen bijvoorbeeld traditioneel zien als het gemiddelde is het meetkundige gemiddelde, bijvoorbeeld van 1 en 9 is 5. Het meetkundig gemiddelde daarentegen is 3. De formule voor die laatste is: b≤ = a*c. Het kwadraat van drie is inderdaad gelijk aan ťťn keer negen.

Wat de algebra doet is dit veralgemenen of abstraheren. Je introduceert een variabele, bij conventie x, die verschillende waarden kan aannemen in een functievoorschrift. De waarde van dat functievoorschrift y hangt af van de waarde van x, wat dus de afhankelijk veranderlijke variabele wordt genoemd. Omdat mensen graag visueel werken kan je dit voorstellen in een xy-assenstelsel. Omdat precies ťťn getal hoort bij een functie per waarde van het x’je, krijg je een lijn. Een meetkundige rij kan je dan voorstellen met y = m*x + b. De letter b is je beginwaarde, en met elke x tel je daar m bij op of af – een rechte lijn.

De reden overigens dat we ons Łberhaupt bezighouden met het spelletje om een letter voor te stellen door x (of eventueel meerdere variabelen) is meestal omdat je bepaalde eisen kan stellen aan een functie. De industrie wilt bijvoorbeeld dat de winst maximaal is, een fysicus wil misschien een bepaalde grootheid, zoals de kracht of versnelling of potentiaal, berekenen. Of hij wilt andere curiositeiten oplossen, fermiproblemen genoemd [1], naar de wetenschapper. Het klassieke voorbeeld is hoeveel pianostemmers er in [insert megapolis x] zijn. Een serieuzer fermiprobleem dat wetenschappers uitrekenden tijdens het Manhattenproject was of een atoomwapen niet de hele atmosfeer zou vernietigen. De kracht is zoveel groter dat elke vergelijking met klassieke wapens de lucht in gaat, waardoor een benadering van hoeveel schade die zal doen toch wel belangrijk was. Laatste voorbeeld is dat architecten graag dingen als booglengtes en oppervlakten en inhouden berekenen.

Hoe stel je een meetkundige reeks voor? Met elke x wil je met een bepaalde hoeveelheid, namelijk a, vermenigvuldigen. We kunnen x dus best in de exponent van a plaatsen. Wat bepaalt dan de beginwaarde? Als x = 0, dan a = 1, dus als je beginwaarde zeven is, vermenigvuldig je met het getal zeven, of algemeen met b. Resultaat: y = b*ax. Uiteraard weten de fervente wiskundigen hoe ze die functie, die we nu een exponentiŽle functie zullen noemen, naar hun hand moeten zetten. Je kan nog constanten toevoegen en dergelijke. De mogelijkheden zijn eindeloos. Mijn favorieten voorbeeld hiervan is de algemene sinusfunctie: y = a * sin(b * (x + c)) + d. Ik kan me voorstellen dat het voor liefhebbers een genot moet zijn om de vier variabelen van die functie te tweaken…

Maar laten we zelf onze handen eens vuil maken. Als oefening gaan we berekenen hoe het nu ťcht met de wet van Moore gesteld is, nl. wat de gemiddelde tijd per verdubbeling is. Wikipedia vertelt me dat de Intel 4004, de eerste microprocessor, een hoeveelheid van 2.300 transistors had, anno 1971. We nemen voor het gemak die datum waarop x = 0.

y = b * a0
=> 2300 = b * 1

Omdat we willen weten hoe het zit met het aantal exacte verdubbelingen, is de keuze van a triviaal.

Functievoorschrift: y = 2300 * 2x

Hoeveel transistors heeft een chip tegenwoordig (ik laat de invloed van de grootte van de silicon chip als oefening voor de lezer)? Wikipedia: de beste GPU uit Nvidia’s GTX 9xx-serie heeft er 8B, anno 2015. Op dat tijdstip is x = 44/2, omdat de verdubbeling elke twee jaar moet zijn volgende de algemeen aanvaarde definitie van Moore’ Law.

8.000.000.000 = 2300 * 222

Verifieer dat dit niet klopt. We hebben dus een nieuwe veranderlijke nodig. Aangezien het aantal transistors hetzelfde blijft, moeten we de 22 veranderen; er zijn niet exact 22 verdubbelingen geweest.

3.5 * 106 = 2x

En dit is het moment waarop ik de yang-functie moet introduceren van de exponentiŽle yin. In mijn blog over calculus vermeldde ik reeds dat men in wiskunde graag beide richtingen uitgaat, dus eens je kan afleiden wil je graag ook terug. Eens je kan exponentiŽren, wil je graag ook terug.

Dit wordt het logaritme genoemd. Meer bepaald is het logaritme de inverse functie van een exponentiŽle. Grafisch is dit het spiegelbeeld van de oorspronkelijke functie om de as y = x. De algemene vorm is:

logbase x = y

Bijvoorbeeld y = log10 100. Om y te vinden lees je dit als: “Tot welke exponent moet ik de base (of het grondtal, hier: 10) verheffen zodat ik y (hier: 100) uitkom?” Bij conventie wordt bij log10 de 10 wegelaten. Nog een oefening: wat is log4 16? Als je vier tot de tweede verheft krijg je zestien, dus twee.

Dit geeft een hint, al is het verband met exponenten misschien niet meteen volledig duidelijk. Herinner je dat als je de inverse neemt, je de variabelen x en y van plaats omwisselt, iets wat triviaal is bij y = x.

y = 10x

Een logaritme stelt: tot welk getal moet ik x verheffen om y te bekomen? Maar hier heb je: wat is y als ik tien verhef tot x? Dat opent interessante mogelijkheden. Ik introduceer nu het logaritme in beide leden.

log y = log10 (10x)

Vraag je nu af over het rechterlid: tot welk getal moet ik 10 verheffen om tien tot de x te krijgen? Dat is x! Als je het logaritme neemt van het grondtal tot een getal, krijg je dat getal zelf! Zo ook is log10 103 gelijk aan 3.

log y = x

Terug naar een functie met x.

y = log x

Verifieer dat als je het grondtal tien neemt, en je verplaatst y naar de exponent, je dezelfde uitdrukking krijgt als die waarmee we begonnen zijn, met de naam van de variabelen verwisseld.

In grafische vorm krijg je een duidelijker beeld.

http://thsprecalculus.weebly.com/uploads/7/0/8/1/7081416/7277124_orig.gif

Merk op dat het domein bij een exponentiŽle functie onbegrensd is, terwijl het beeld of bereik van 0 tot plus oneindig gaat. Bij de logaritmische functie is het omgekeerd. Het domein start bij nul, terwijl nu het beeld/bereik onbegrensd is. Dat laatste is echter niet op het eerste gezicht voor de hand liggend. Waar de exponentiŽle sterk stijgt, zie je dat groei naar boven er bij de logaritmische snel uit is en blijft verminderen. Wie van deze trage groei op een meer visceral way een gevoel wilt krijgen, kan ik aanraden de volgende 22 minuten van volgend filmpje te bekijken (11 min. op 2x snelheid). Absoluut de moeite waard. (De volledige 22 want de ontknoping komt pas op het einde...)


YouTube: Lec 38 | MIT 18.01 Single Variable Calculus, Fall 2007

Terug naar Moore. Nu is de rest vanzelfsprekend:

log2 (3.5 * 106) = log2 (2x)

<=> log2 (3.5 * 106) = x
<=> x = 21.7

Ik was nu van plan om te berekenen wat dan wel de tijd per verdubbeling is, maar merk op hoe dicht dit het echte getal benadert! 1971 + 2*21.7 = 2014, afgerond zou het zelfs 2015 zijn. De laatste generatie uit 2015 met 8B transistors was dus maar ťťn jaar te laat! Tot zover dus het einde van de wet van Moore. Nu naar echt serieuze zaken: calculus.

Calculus revisited
Even een kleine opfrissing van waar ik vorige blog geŽindigd was. Nu zullen we het deel integraalrekening niet nodig hebben.

Ik heb een functie y = x≤ genomen en geprobeerd om een functie y’ of f’(x) of dy/dx te vinden die je de raaklijn geeft bij elk overeenkomstig punt van y. Hier is y’ = 2x. De algemene formule:

dy/dx = n * xn-1

Oefening: leidt x3/3 af.

Merk dus op dat bij een veelterm, de graad telkens met ťťn wordt verlaagd. Dat is logisch lijkt me gezien de ‘raaklijn’ (= richtingscoŽfficiŽnt) van een lineaire functie y = mx (x1) door de constante m wordt weergegeven (x0), zie hoger. En calculus is eigenlijk niets meer dan een veralgemening van deze eenvoudige lineaire functies en bewerkingen (bv. oppervlakte rechthoek) waar we allemaal mee vertrouwd zijn. In vorige blog gaf ik onder andere aan dat je met integralen veel geavanceerdere oppervlakten en inhouden kunt berekenen. Het ingenieuze inzicht is dus dat je dit ook voor hogere exponenten kunt gebruiken.

Nu willen we ons differentiaalarsenaal echter wat uitbreiden. De afgeleide van de sinus- en cosinusfuncties eerst.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sine_cosine_plot.svg/1280px-Sine_cosine_plot.svg.png

Focus je eerst alleen op sin(x). De afgeleide zie je door het punt te nemen en kijken wat de functie in dat punt doet. Kijk naar sin(0). Hoewel er geen normale getallen op staan, kan je zien dat het een rechte lijn is rond dat gebied, met rico 1. Kijk nu naar de functiewaarde van cos(0). Ook 1! Kijk zelf eens naar sin(pi/2).

Dsin(x) = cos(x) [er zijn veel notaties voor de afgeleide…]

Voor de cosinus zou je hetzelfde kunnen raden, maar zien we iets anders. De afgeleide van de cos(0) is inderdaad sin(0) = 0, maar de rico van cos(pi/2) = -1, terwijl de sinus daar 1 is. Heeft tot gevolg.

Dcos(x) = - sin(x)

Goniometrie kan echt een bitch zijn, maar hier is ze al bij al wel lief. Nu we een behoorlijk aantal functies kunnen afleiden, sta je wellicht te springen om die exponentiŽle en logaritmische functies at te leiden die we hierboven gebruikt hebben om te bevestigen dat Moore’s Law willy nilly nog op schema zit! Ik kan je enthousiasme begrijpen, maar daarvoor hebben we eerst eindelijk ons mythisch getal nodig: e.

Het getal e
Omdat 2x de bekendste exponentiŽle functie is neem ik die als voorbeeld, analoog aan x≤ in het vorige deel. Omdat we hier niet het trucje met het verlagen van de macht kunnen gebruiken, ga ik nu de volledige definitie van de afgeleide introduceren.

dy/dx= lim(∆x→0) [f(x + ∆x) - f(x)] / ∆x

Conceptueel niet zo moeilijk. Differentiaalrekening gaat over infinitesimalen en over richtingscoŽfficiŽnten. Net als in vorige blog voeg je een klein beetje y toe (y + dy), trek je daarna die y er terug van af (x≤ = y heb ik geschrapt), en deel je door dat beetje (laatste stap om dy/dx te bekomen, verhouding van infinitesimalen). Ze zijn dus equivalent, maar deze is formeel en omdat je met limieten kunt rekenen veelzijdiger. Let wel dat in de limiet dx nul wordt – dat is het hele punt – maar omdat je niet mag delen door nul, moet je iets slimmer te werk gaan om hier algebraÔsch iets zinnigs van te maken. Als f(x) = 2x, krijg je.

d/dx 2x = lim(∆x→0) (2x + ∆x - 2x) / ∆x

Je kan 2x in de limiet vooropplaatsen aangezien optellen bij exponentiŽle en logaritmische bewerkingen in feite vermenigvuldigen is. Optellen is echter simpeler waardoor zeker fysici dat prefereren. Dus 2x+dx = 2x.2dx.

d/dx 2x = lim(∆x→0) (2x (2∆x - 1) / ∆x

Een eigenschap van limieten (net als afgeleiden en integralen), is dat je constante factoren uit het limietteken kunt plaatsen. 2x is weliswaar geen constante maar een functie, maar het is dx dat naar nul gaat, met x zelf gebeurt niets.

d/dx 2x = 2x lim(∆x→0) (2∆x - 1) / ∆x

We gaan deze uitdrukking verder met rust laten en ons concentreren op de implicaties hiervan. Eerst gaan we een specifiek geval onderzoeken door x te vervangen door een getal. Je mag nu zelf een getal kiezen. Wie de prof Jerison van het filmpje hierboven nog wat meer gehoord heeft [2], zal misschien gezien hebben dat nul zijn lievelingsgetal is. En met rede. Met nul krijg je vaak simpele, mooie dingen die het leven gemakkelijk maken. Zeker kwantumfysici en kosmologen weten dat je anders wel eens (on)zin kunt uitkomen [3]! We krijgen dan een ander mooi getal. In het bijzonder geldt dus voor f’(0).

d/dx 20 = 20 lim(∆x→0) (2∆x - 1) / ∆x

Maar elk getal tot de macht nul is gewoon 1, waardoor die in de vermenigvuldiging wegvalt. Dus om de afgeleide bij x = 0 te kennen, moeten we nu nog weten wat die limiet ernaast inhoudt. We kunnen deze, zoals net vermeld, met de gewone rekenregels niet berekenen :-(. We weten echter wel met zekerheid dat hij bestaat :). Het is immers geometrisch gezien de rico van de raaklijn van de functie in P(0,1) die hoger op afbeelding staat. Hier kan je zelf getallen invullen om het te benaderen.

∆x(2∆x - 1) / ∆x
0.10.71773
0.010.69556
0.0010.69339
0.00010.69317


Schematisch gesteld: f’(0) = 1 * "een getal".

Merk nu op dat dit getal niet afhankelijk is van de functie y omdat we die buiten de limiet hebben gezet. We kunnen hieruit besluiten dat de afgeleide van de functie y de functie evenredig met een bepaald getal is! Laat ons die evenredigheidsfactor c noemen.

c = f'(0) = lim(∆x→0) (2∆x - 1) / ∆x ≈ 0.693

Of nog: D2x = c * 2x

De afgeleide van een exponentiŽle functie is niets meer dan die functie zelf, vermenigvuldigd met een evenredigheidsfactor. Als dat niet handig en makkelijk is!

Wanneer je deze oefening nu herhaalt maar dan de 2 telkens in een variabele a verandert, kan je aantonen dat dit niet uniek is voor de functie met grondtal 2. In het bijzonder zal immers steeds gelden dat de afgeleide bij x = 0 als uitkomst a0 maal een getal zal geven. Dit geldt dus voor elke exponentiŽle functie. Wat niet hetzelfde zal zijn, is die factor c. Hieruit besluiten we dat de evenredigheidsfactor afhangt van de groeifactor a. Hieronder enkele waarden van deze c bij andere waarden van a. Het zijn irrationale getallen.

ac = lim(∆x→0)(a∆x - 1) / ∆x
0.5- 0.6931
10
1.50.4055
20.6931
2.50.9163
31.0986
3.51.2528
......
102.3026


Wat we tot nu toe weten is dat om bij benadering de afgeleide te berekenen van ťťn van bovenstaande getallen met x in de exponent, we die functie nemen en ze vermenigvuldigen met het getal uit de tabel. Maar de aandachtige lezer moet nu iets interessants opgevallen zijn. Iets hoogst bijzonder en uniek! Nee, iets spectaculair en ongezien in alle bovenstaande uitleg over afgeleiden!

Deze waarde c blijkt namelijk zowat om het even welke waarde te kunnen aannemen, en ergens in die tabel, zal je opgemerkt hebben, meer bepaald tussen 2.5 en 3.0, gaat die waarde over van een getal in de 0.91… naar 1.09… Okť, maar wat maakt dat uit? Dat het leven eenvoudig wordt.

Ergens tussen tweeŽnhalf en drie, op een schijnbaar willekeurige plaats, moet de evenredigheidsfactor c de waarde van 1 aannemen. Maar 1 is natuurlijk geen evenredigheidsfactor, maar, analoog aan de a0, een gelijkheidsfactor. Dat betekent dus dat er een a bestaat waarvoor geldt.

Dax = c * ax = 1 * ax = ax

Dat is wel heel speciaal, want de afgeleide van de functie is dan, jawel, gelijk aan zichzelf!!! De rico van de raaklijn op elk punt is gelijk aan de y-coŲrdinaat van de functie. Wie had dat voor mogelijk gehouden? Oh ja, en dit betekent natuurlijk ook dat de integraal van die functie ook die functie zelf is, wat betekent dat de oppervlakte onder de grafiek tussen x = 0 en x gelijk is aan de functiewaarde y zelf, op een constante (meer bepaald, y minus dat speciale getal) na.

Nu hoor ik je denken: "Leuk, maar wat heeft dit nu eigenlijk met het getal e te maken? Daarvoor ben ik immers naar hier gekomen." Okť, als dit je nog niet omver blaast, weet ik het ook niet [4]! Dit Ūs het getal e.

Recapituleren: Dex = ex

Maar eigenlijk is dit wel nogal een indirecte manier om zo’n belangrijk getal te bepalen, namelijk als het getal waarvoor de evenredigheidsfactor bij de limiet van de afgeleide bij x = 0 gelijk is aan 1. Dat kan beter.

dy/dx ex = ex lim(∆x→0) (e∆x - 1) / ∆x

Bij f’(0) krijg je.

lim(∆x→0) (e∆x - 1) / ∆x = 1

Ik laat voor het gemak de limiet nu weg. Let dat dx steeds naar nul toe nadert.

(e∆x - 1) / ∆x = 1

e∆x - 1 = ∆x

e∆x = 1 + ∆x

(e∆x)1/∆x = (1 + ∆x)1/∆x

Dus e = lim (1 + x)1/x als x nadert naar 0. Of nog.

http://latex.artofproblemsolving.com/d/6/b/d6b7fe996e5ed8261f047e0a71c9f547e4f349d5.png

Dat is de exponentiŽle versie van het getal: y = ex. Het enige wat ons nog rest is om de logaritmische functie te bepalen, en daarmee uit te vinden wat de exacte evenredigheidsfactor c voor andere grondtallen is.

y = ex dus (zie eerder voor uitleg):
loge y = x dus (omkeren variabelen):

y = loge x

Maar e is belangrijk, dus krijgt het zijn eigen naam. Het natuurlijk logaritme.

y = ln x

Eťn gevolg hebben we eerder al en net gezien.

ln ey = y

Een tweede leuke eigenschap van logaritmen is dat een grondtal tot het logaritme van dat grondtal van een variabele x gelijk aan getal zelf is.

eln x = x

Als ln x betekent: "Tot welke macht moet ik het grondtal e verheffen om dat getal uit te komen?" Dan is het niet meer dan logisch dat als je e ook effectief tot die macht verheft, je die variabele uitkomt. Aangezien we een definitie van e hebben, impliceert dat voor een wiskundige dat ln een soort zwarte doos is waar je interessante dingen mee kunt doen, die je eventueel kunt openen als het nodig mocht zijn met behulp van je rekenmachine. We kunnen een getal dus herdefiniŽren om voor interessante berekeningen te gebruiken. Dus als we x vervangen door a.

a = eln a

Waarom deze spelletjes spelen? Het hele punt is dat we weten hoe we e moeten afleiden. Dat gegeven kunnen en moeten we dus ten volle uitbuiten en uitmelken. Aangezien we ax willen berekenen, doen we volgende.

(eln a)x = ax

Rekenregel: getal met exponent tot een exponent verheffen betekent exponenten vermenigvuldigen.

ex lna = ax

Afleiden met de geliefde kettingregel, dan krijg je functie zelf maal de afgeleide van de exponent.

Dexlna = exlna * D(x lna)

Dexlna = exlna * ln(a)

Via gelijkheid (zie iets hoger) terug naar de gewilde functie.

Dax = ax ln(a)

En dat is het. De constante evenredigheidsfactor c die we zochten is niets meer dan het natuurlijk logaritme van het grondtal.

Voor de volledigheid nog dit.

Dln x = 1/x

Conclusie
In volgorde heb ik exponentiŽle en logaritmische functies uitgelegd, de afgeleide van twee geliefkoosde goniometrische functies aangetoond, en dan letterlijk en figuurlijk het getal e afgeleid. Als ik tot slot de afgeleide van logaritmen in mijn conclusie zou vermelden – zoals ik nu doe :’) – zou dat langer zijn dan mijn eigenlijke behandeling ervan.

Misschien zou het nogal belachelijk zijn als dit artikel als beste benadering zei dat het tussen 2.5 en 3 ligt, dus hier een betekenisloze opeenvolging van cijfers voor alle niet-wiskundigen die geen oneindige precisie hoeven [5].

e = 2.71828182846…

Eigenlijk is het woord conclusie verkeerd. Ik heb enkel e afgeleid met wat algebra en differentialen. Hier begint het pas! Hier wordt een hele nieuwe wereld van wiskunde geopend. Wie economisch is aangelegd (ik niet, al was dat wel hoe ik zelf eerst met de betekenis van het getal in aanraking kwam), zal hier wel leuke dingen mee kunnen doen zoals de betekenis van continu samengestelde interest. Je hebt de klassieke toepassing bij radioactiviteit en differentiaalvergelijkingen. In de wiskunde zelf heb je nog fijne toepassingen. Bij reeksen, als benadering voor sinus en cosinus. Bij poolcoŲrdinaten bij de complexe getallen. En zo gaat het maar verder.

Maar dat is niet voor deze blog bestemd.



Bronvermelding: dit blog is voor een deel geÔnspireerd geweest door de leerkracht wiskunde die me dit heeft aangeleerd.

Vorig deel: Wisdom: Calculus in 1000 woorden

[0] Het verbaast me dat nog niemand een Moore's Law: corollary heeft ingevoerd: elke twee jaar verdubbelt het aantal mensen dat zegt Moore's Law gedaan is.

[1] Fermiproblemen: https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_problem. Zie ook Professor Lawrence Krauss: The secret life of physicists of hier voor de volledige toolkit van een fysicus.

[2] Zie de uitstekende cursus Calculus 1A, 1B en 1C: https://www.edx.org/cours...erentiation-mitx-18-01-1x e.v.

[3] Het probleem waar ik op doel (https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_catastrophe) is de afwijking tussen de theoretische voorspelling van de energie van het vacuŁm en de werkelijke waarde ervan. De gemeten waarde is 10120 keer de energie van alle materie in het zichtbare heelal. Als dat zo zou zijn, zou het heelal niet leefbaar zijn en gezien de enorme fout is dit dus de slechtste voorspelling in heel de fysica! Zoals in volgende link wordt uitgelegd, zou je willen dat er ťťn of andere symmetrie is die dit gigantische getal nul maakt. Maar dat is helaas niet het geval; dat is toch niet hoe de natuur werkt. Maar de wťrkelijke energie kan niet veel meer kan zijn dan alle energie (i.e. 1). “Niemand weet hoe je dat grote getal moet schrappen tot 120 decimalen om dan in het 121ste cijfer een getal over te houden om het getal niet-nul te maken!” Toch zou het zo moeten want de energie van vacuŁm is niet nul. Tot 36:45, https://youtu.be/49MQevCnM40?t=31m50s. Moraal is dat nul het het een stuk makkelijker had gemaakt.

In de kwantummechanica kom je oneindig tegen bij oneindige reeksen en worden wiskundige technieken gebruikt om die oneindigs ‘schoon te maken’.

[4] Hoewel. Voor de toekomst heb ik nog wel iets dat zťlfs e het nakijken zal moeten geven.

[5] Serieus. Volgens mij kan het niet anders dan dat fysici gewoon in de lach moeten schieten telkens wanneer ze zien hoe wiskundigen een duizelingwekkend aantal beduidende cijfers eisen! In de wetenschap, en het dagelijkse leven, ben je vaak al blij met twee of drie. Zie [1].


Ik heb me trouwens laten vertellen dat als je vergelijkingen in een tekst stopt, je per vergelijking de helft van de lezers verliest. Dus gefeliciteerd als je het tot hier geschopt hebt.

Moore's Law voor dummies

Door witeken op woensdag 20 januari 2016 18:00 - Reacties (3)
Categorie: -, Views: 3.464

Moore's Law in 500 woorden

Naar aanleiding van nieuws: Gerucht: Intel zal drie 10nm-generaties processors uitbrengen blijkt maar weer eens hoe, jawel, out-of=date de kennis van de gemiddelde persoon over de wet van de Moore is, en de status ervan. Geen verrassing gezien het onderwerp in kwestie van academisch niveau is. Ik heb het hier in redelijk wat detail over gehad in vorige blogs, maar hier beperk ik mezelf tot de belangrijkste details en vijfhonderd woorden. Ik laat de interconnect ook maar voor wat die is. Hier volgt dus de essentie.

Begrippen

Definitie: Moore's Law stelt dat de prijs per transistor of het aantal op een chip elke twee jaar hoort te halveren of te verdubbelen, respectievelijk, idealiter.

Doemdenkers: Stellen, zonder kennis van de relevante nanowetenschap te hebben, dat er nog maar een aantal nodes zijn voor de transistor te klein is en de atomen te groot.

Een naam is gewoon een naam

Het eerste wat je moet beseffen is dat het aanduiden van de grootte van een transistor -- laat staan andere eigenschappen zoals verbruik -- met ťťn naam al bij voorbaat gefaald is. Niet alleen omdat een transistor daar veel te complex voor is, maar simpelweg ook omdat een transistor 2D is. Wat de recentste generaties betreffen die in 2014-2015 zijn uitgekomen, zijn de exacte groottes als volgt.

http://xtreview.com/images/6deformation.jpg
http://xtreview.com/images/6deformation.jpg

Geen 14nm, geen 10, en al helemaal geen zeven nanometer. Case in point: zoals ondertussen bekend is ieders "14/16" (excl. Intel) even groot als hun "20".

Dat was grootte. Nu de andere belangrijke high-level eigenschappen als verbruik en prestaties. Merk trouwens op dat niet alleen de transistor daarvoor van belang is, maar nog legio andere technieken ook. Ook de grootte leert je weinig, tenzij misschien de gate length, maar die is nog esoterischer dan bovenstaande groottes die blijkbaar al bij niemand bekend zijn. Maar hier wordt het hoe dan ook nog moeilijker gezien de enige juiste benadering kwantitatief is, i.e. fysisch. Want hoewel dat de algemene make-up er erg vergelijkbaar uitziet, zijn de verschillen niet zo eenvoudig te zeggen. Alle huidige chips met de naam "16" of kleiner hebben strained silicon, HKMG en fins. Maar Intel heeft al een tweede generatie fins uitgebracht ("14"). Maakt dat een verschil? Wel, de eerste generatie van SS en TSMC is al niet 1:1 vergelijkbaar met iteratie 1 van Intel, dus wie zal het zeggen, buiten de heuristiek dat Intel 3 jaar meer ervaring ermee heeft?

Tot slot toekomstbeeld. Ik weet niet wat mensen zo hebben met speculatie. Tech uit de toekomst ziet er natuurlijk leuk uit, toegegeven, maar hij is er nog niet. Samen met volgende opmerking moet dat geruchten over releasedata eigenlijk waardeloos maken: Intel zťlf wist minder dan een half jaar voor de beoogde productie, met zekerheid, dat die zou uitgesteld moeten worden (gezien de ontwikkeltijd van >vier jaar is dat erg klein). Dus hoe kan een bedrijf dan weten wanneer een node met de nietszeggende naam "10" (evt. excl. Intel), "7", of "5" verschijnt? Als je denkt dat bedrijven dat wel weten, wat maak je er dan van dat Intel zowel een versie van "7" mťt als zůnder EUV ontwikkelt?

Een algemene tendens kan wel opgemaakt worden. Moore's Law is niet dood. Moore's Law is aan het vertragen wegens de -- al sinds het begin -- eeuwig stijgende complexiteit (en dus kosten, al is het de complexiteit die voor de vertragingen zorgt), versterkt door de afwezigheid van EUV. Dit uit zich bijvoorbeeld in consolidatie, het kernwoord van 2015 voor de industrie.

http://si.wsj.net/public/resources/images/BT-AE853_CHIPDE_16U_20151018180008.jpg
http://si.wsj.net/public/...DE_16U_20151018180008.jpg

Moore's Law is aan het transformeren. Halfgeleiders hebben geen free lunch, dus dat moest ooit eens stoppen, maar zelfs na vijftig jaar kan je gerust zeggen dat de halfgeleiderindustrie er nůg wel een paar decennia bij zal doen. Voorlopig moet je je dus nog niet druk maken over het einde van nanotechnologie -- dit is pas het begin -- maar het ritme is in elk geval niet meer wat het geweest was in de gloriedagen van Tick en Tock.

Enkel geschiedenis zal voor de gewone toeschouwer kunnen oordelen of die delta van twee jaar definitief voorbij is.

Samenvatting
Als ruwe (maar wel best mogelijke) proxy moet je nemen dat node "n" van TSMC of Samsung overeenkomt met node "n-1" van Intel (bv. 10nm van Intel ~ 7nm TSMC). Dit komt overeen met de algemeen aanvaarde en goed gedocumenteerde productievoorsprong van Intel van > 2 jaar die het al ca. een decennium heeft.

Moore's Law zal nog tegen 2 ŗ 3 jaar continueren voor zeker een decennium; de naam die een node krijgt is veel te misleidend voor de werkelijke oppervlakte.

De kosten zullen blijven stijgen, evenals de complexiteit. Dat is de oorzaak voor vertraging. In concreto betekent dit dat de yields niet snel genoeg op punt gezet kunnen worden (zie bv. Intel).

Luister niet naar, vooral TSMC's, geblaat over de productie van een toekomstige node. Uitzondering: aankondiging dat de node in kwestie in volumeproductie is.

Desondanks zijn er tientallen technologieŽn en nog meer ideeŽn die potentieel ofwel een toevoeging zijn op de gebruikelijke gang van zaken i.v.m. Moore's Law ("More than Moore", bv. 3D), ofwel een vervanging van de transistor zijn zoals die op dit moment gekend is.

Dat is, dan, waar een deel van mijn blogs dit jaar over zal gaan: een miniserie over hoe de transistor na het tijdperk van de klassieke transistor eruit zal (kunnen) zien.

The Machine wordt realiteit in 2016... maar niet door HP

Door witeken op dinsdag 29 december 2015 08:00 - Reacties (8)
Categorie: -, Views: 4.868

HP’s ambitieuze The Machine wordt realiteit in 2016… maar niet door HP

Wie de technologieactualiteit al een tijdje volgt, zal ongetwijfeld gemerkt hebben dat er aan ideeŽn in de industrie geen gebrek is. Zelfs start-ups en bedrijven die ook effectief aan radicaal nieuwe innovaties werken zijn er in overvloed. Toch hoor je van veel van die bedrijven of technieken na een initiŽle aankondiging in de media nog weinig. Steeds blijkt dat de stap van idee of prototype naar commercieel product een immense uitdaging is.

Zelfs de grootste bedrijven kunnen schuldig zijn aan het overhypen van toekomstige producten die nog jaren van de geplande releasedatum zijn, laat staan de feitelijke release. HP was zo’n bedrijf dat met heel veel fanfare zijn The Machine aankondigde in 2014. Dat had een nieuwe high-performance computerarchitectuur moeten worden die op een eigen Machine OS zou draaien en in de eerste plaats gefocust zou zijn op het geheugen. De machine zou beschikken over een immense hoeveelheid snel en non-volatile geheugen met erg lage latency naar de processorkernen die uiteraard ook in overvloed aanwezig zouden zijn.

Klinkt indrukwekkend in theorie, en dat is ook hoe het in de media ontvangen is, maar een jaar later was HP al genoodzaakt om het geheugen te veranderen van hun eigen unique selling point, namelijk de memristor genoemd, naar het conventionele DRAM. Een half jaar verder is duidelijk dat The Machine in de heel nabije toekomst toch werkelijkheid zal worden. Maar dan niet met privaat IP van HP, maar met commercieel verkrijgbare technologie… geproduceerd door Intel.

The Machine: Een nieuwe geheugenhiŽrarchie
“There will be a new operating system, a new type of memory (memristors), and super-fast buses/peripheral interconnects (photonics). Speaking to Bloomberg, HP says it will commercialize The Machine within a few years, “or fall on its face trying.”

The Machine is een nieuwe aanpak van de computerarchitectuur en wilt meer bepaald de omgang met het geheugen veranderen. Conventioneel heeft het geheugen altijd in dienst gestaan van de processor (of andere rekeneenheden). De onderste laag bestaat uit de registers die het dichts bij de rekenkernen staan, gevolgd door de L1- en later ook L2-, L3- en tegenwoordig soms L4-cache, met uitzondering van die laatste (Intels Crystal Well) zijn zij allen opgebouwd uit SRAM met 6 transistors. Dat is het einde van het geheugen op of rond de CPU, waarna je naar het nog steeds snelle DRAM gaat, bestaande uit een capacitor en een transistor. Tegenwoordig ga je dan naar NAND, en tot slot heb je een harde schijf (en tape).

De reden voor die hiŽrarchie is simpelweg de vaststelling dat ťťn grootte (ťťn geheugentechniek) niet overal past. Als je eis is om heel snel geheugen te maken, ga je bij een techniek uitkomen die erg duur is. Als je de prijs wilt verlagen, zal je bij inferieure technieken uitkomen. Concessies moeten gemaakt worden. Algemeen ga je van heel snel naar traag, en van heel weinig naar heel veel geheugen. Daar komt nog bij dat alles boven NAND (inclusief de CPU zelf) volatile is, wat betekent dat de informatie verloren gaat als je de stroom uitschakelt of zelfs niet constant ververst (DRAM).

http://computerscience.chemeketa.edu/cs160Reader/_images/Memory-Hierarchy.jpg

HP’s bedoeling was dat er weggedaan zou worden met alle geheugen onder de CPU, en ze die vervangen door de memristor. Zoals op de tijdlijn van het artikel van IEEE Spectrum te lezen is [6], is HP al sinds 2008 bezig met de ontwikkeling van de memristor. De verwachting in 2011 was om in 2013 in productie te gaan.

De memristor wordt naast de inductor, capacitor en resistor geplaatst als een vierde passieve component. De prefix mem- verwijst naar het feit dat de component herinnert welke stroom erdoor is gegaan, wat een invloed heeft op de – variabele – weerstand van de component. Hij kan dus gebruikt worden als geheugencel voor opslag. Maar nog beter, een memristor kan schakelen in de orde van nanoseconden, waardoor het qua prestaties dus ook DRAM vervangt. (Ter vergelijking: de latency van SSD's wordt gemeten in microseconden.) De memristor kan in een driedimensionale cross-bar-structuur gelegd worden, wat in principe een eenvoudige structuur is en dus goed zou kunnen schalen met Moore’s Law: er zouden 3nm-memristors in het lab zijn. NAND, daarentegen, is gebaseerd op het bewaren van elektronen in cellen, wat rond de 10nm-node ongeveer ten einde komt gezien je te weinig elektronen hebt. Men kan meerdere lagen op elkaar stapelen, volgens HP initieel vier op een 25nm-procedť in 2013, wat een dichtheid geeft die overeen zou komen met 256Gbit. Tot slot heeft men in 2010 ontdekt dat de memristor ook als logische schakeling gebruikt kan worden.

Als kers op de taart wilde HP de koperen verbindingen van geheugen naar CPU vervangen door lichtsnelle silicon photonics. Allemaal mooi en leuk, totdat HP in juni aankondigde de memristor te laten vallen. Het enige wat dan nog overbleef was feitelijk een machine met heel veel DRAM, al is het ongetwijfeld minder dan mogelijk was geweest met de memristor, gezien de relatief lage dichtheid van DRAM. Ook het OS werd vervangen door een variant van Linux. Volgens HP zou er in een later stadium een versie komen met phase-change memory.

Het beeld ziet er dus niet rooskleurig uit. Hoewel HP de guts heeft getoond het gevestigde paradigma te willen verbreken, lijkt het nu gedoemd tot falen. Of toch niet?

Enter Intel
Grand announcements about products that are still years away are rare in the computer industry. “We don’t need to talk about stuff five years from now,” Juan Loaiza, Oracle senior vice president for systems technology, told Bloomberg Businessweek.

De quote doet me denken aan IBM, dat eerder dit jaar ook nogal hoog van de toren blies met wat zogenaamd de eerste 7nm-testchip zou zijn. Dit heb ik besproken in mijn blog Intel en Innovatie. De realiteit is echter dat er meestal niet gesproken wordt over producten die je effectiťf zult kunnen kopen in de toekomst. Bedrijven houden hun geheime plannen en unique selling points immers graag dicht bij de hand om de concurrentie niet te veel inzicht te geven.

Zo was het dus dat Intel samen met JV-partner Micron een maand na HP’s teleurstellende nieuws een radicaal nieuwe technologie aankondigde: 3D XPoint. Hoewel Intel heeft ontkend dat het om phase change memory gaat, is het er naar alle waarschijnlijkheid een variant op [1]. Hoewel het iets heel anders is dan de memristor, zijn de gelijkenissen sprekend: het wordt geproduceerd op een 20nm-procedť, eveneens met een cross-bar-layout, en het is driedimensionaal met initieel twee lagen. Ook IMFT claimt dat er tien jaar aan gewerkt is en dat het volgens Moore’s Law kan schalen, en dat de karakteristieken bij het verkleinen ook nog zouden verbeteren. De derde mogelijkheid om de capaciteit te vergroten is om meer dan ťťn bit per cel op te slaan. Initieel gaat het om een die van 128Gbit – wat dus overeen zou komen met de 256Gbit bij gebruikt van vier lagen zoals HP.

Er zijn weliswaar twee minpuntjes: de duurzaamheid is 1000x die van NAND, maar dus niet praktisch onbeperkt zoals DRAM [4]. Daarnaast zal de latency ongeveer een orde van grootte trager zijn dan DRAM, dus niet alle toepassingen gaan ervan verbeteren. Officieel positioneert Intel 3D XPoint niet als een vervanger van NAND of DRAM, maar realistischer gezien als een nieuwe technologie tussenin beide.

http://blogs-images.forbes.com/antonyleather/files/2015/07/cross_point_image_for_photo_capsule1.jpg
http://blogs-images.forbe...ge_for_photo_capsule1.jpg

Maar nu komt het. Het grote verschil met de memristor? 3D XPoint zal in 2016 al verkrijgbaar zijn in SSD’s, en zal met het Skylake-EP (codenaam Purley) in 2017 ook voor het datacenter beschikbaar komen. Een jaar na de aankondiging dus, een wereld van verschil. Zal HP overschakelen op 3D XPoint? Wie zal het zeggen, maar het is plausibel, zeker gezien de timing.
Jim Handy, an analyst at Objective Analysis, says he suspects those companies could well have convinced then HP that their [3D XPoint] memory is “a better or more timely solution.”
The Machine had nog een tweede innovatieve verandering: silicon photonics. Ook hier zal het niet HP zijn dat het product op de markt brengt, maar wel de leider van silicon-technologie. Vorig jaar kondigde Intel aan dat eerste producten begin 2015 geleverd zouden worden, maar dat zal nu begin 2016 worden wegens uitstel door problemen [2], maar volgens 451 Research was de oorzaak de beslissing om de productie vaan 200mm- naar 300mm-wafers te verplaatsen [10] (een interessant artikel voor wie wat meer technische details wilt). Desondanks hebben al 2 van de 7 grootste cloudproviders de technologie gesampled. Het bedrijf verwacht dat de TAM in 2020 $5B zal zijn, en al $1B in 2016.

Na het schrijven van dit artikel is een nieuwsbericht uitgekomen waarin Amerikaanse onderzoekers erin geslaagd zijn om op een bestaand 45nm-procedť photonics met elektronica te integreren in een chip met 70M transistors. Ik ben nergens technische informatie tegengekomen over Intels silicon photonics, dus ik weet niet goed hoe die zich met elkaar vergelijken. In het artikel op Tweakers was wel een vraag hoe belangrijk deze ontwikkeling is, wat ik wil beantwoorden met een quote van een deskundige [7]:
“The challenges of silicon photonics remain the same as they have always been: this includes too much optical loss, too much power dissipation, too much chip area, and so on,” Levi says.
Ik vermoed dat hij hier doelt op silicon photonics gebruikt als interconnect in chips zelf, iets wat Intel en wellicht TSMC en Samsung trouwens ook onderzoeken. De voordelen van silicon photonics voor communicatie op langere afstanden tot 2km zijn de grootte en gewicht van de kabel versus koper (form factor), lager verbruik en kosten. Op termijn kan de silicon photonics ook in de processorchip geÔntegreerd worden.

http://i.imgur.com/I8OLfhX.png

Tijdens het opzoekwerk kwam ik op een interessante uitleg in Tweakers coverage van IDF 2004 [9] -- 2004! (En toen was de ontwikkeling al 5 jaar bezig.) Het nieuws komt trouwens een paar maand nadat Imec al een mijlpaal meldde voor silicon photonics [8]. (Al is mijlpaal natuurlijk relatief als een ander bedrijf de verkoop ervan al start, iets wat ook IBM ondervindt [11].)
The basic challenge in silicon photonics is the fact that silicon is also the material used for fiber-optic cables (glass), and the frequencies chosen for optical signals are precisely where silicon is most transparent. To create or detect these frequencies requires the use non-silicon materials that react with light, and to build electro-optical circuits on existing lines requires adapting those processes to include these new materials.
Tot slot heeft Intel ook een vervanger voor Inifiniband, Omni-Path Architecture genaamd, voornamelijk voor HPC-doeleinden. Ook hier is integratie in silicon de sleutel, iets wat de industrie al sinds het begin drijft door Moore's Law. Initieel wordt het op dezelfde package als Knights Landing geplaatst, maar in de toekomst zal het op de die zelf komen. (Zie bv. ook de integratie van FPGA's met Intels overname van Altera: in 2016 als MCP, maar in de toekomst op de die.)

Wat bij beide onderscheidende features opvalt, is dat ze met het geheugen te maken hebben. CPU's en GPU's blijven steeds sneller worden door de exponentiŽle toename van rekenkernen, maar die moeten natuurlijk gevoed worden door data. Als je dat niet kan, heb je weinig aan alle TFLOPS, wat tevens de reden is voor het gebruik van HMC bij de 14nm Xeon Phi die in H1'16 in gebruik zal genomen worden (niet te verwarren met HBM, al zijn beide vergelijkbaar). Het transport van data neemt daarnaast een significante hoeveelheid energie in beslag, dus het is geen verrassing dat men elke schakel van het datavervoer probeert te verbeteren, van de interconnect op de chip tot de exascale supercomputers.

Conclusie
The Machine ziet er anno 2015/2016 helemaal niet meer zo revolutionair uit als in 2014 beloofd was. Gelukkig zijn er echter bedrijven die wťl in staat zijn om innovatie naar de marktplaats te brengen, ook al zijn ze terughoudend om concrete informatie te geven over technologieŽn die zich nog in het R&D-stadium bevinden.

Maar eens ze aangekondigd zijn, kan het snel gaan. Of dit bijvoorbeeld het geval zal zijn met de VISC-architectuur [5] valt nog af te wachten, al lijkt de kans klein (niet te verwarren met de RISC-V ISA). Als het bedrijf echt een opmerkelijke verbetering heeft, zal het eerder overgenomen worden. Voor de geÔnteresseerden, volgende heeft een Intel CPU-architect me verteld.
“Sounds like hardware accelerated code morphing/dynamic translation. Code morphing is still a developing field and you can see the inconsistent performance in Project Denver. So in my opinion, it's why have they not implemented this YET? And that's because it still needs work and development. You have to beat the status quo to become the new status quo.”
Wat The Machine betreft, zullen de componenten die het systeem moeten onderscheiden van de gevestigde orde in de loop van 2016 beschikbaar komen. Dan zal niet enkel HP The Machine werkelijkheid kunnen doen worden, maar zullen andere bedrijven dat eveneens kunnen.

Oh, en hoe zit het voor de gewone consument? Buiten de Optane SSD’s die volgend jaar zullen verschijnen, zal ook silicon photonics zijn weg vinden naar de marktplaats, onder de naam Thunderbolt [3].


Leesvoer
[1] http://seekingalpha.com/a...6-3d-xpoint-not-the-point en http://seekingalpha.com/article/3774746-micron-tainted-love
[2] http://www.pcworld.com/ar...-photonic-networking.html en http://www.theregister.co...les_cant_handle_the_heat/
[3] http://spectrum.ieee.org/...intel-talks-thunderbolt-3
[4] http://spectrum.ieee.org/...ow-they-cripple-computers
[5] http://www.extremetech.co...ugh-weve-been-waiting-for en http://techreport.com/new...ased-on-visc-architecture
[6] http://spectrum.ieee.org/...-hpes-the-machine-deliver
[7] http://spectrum.ieee.org/...tonic-interconnects-built
[8] nieuws: Imec integreert lasers in siliciumwafers voor photonics
[9] reviews: Vooruitblik en eerste persdag Intel Developer Forum
[10] https://451research.com/report-short?entityId=84332
[11] http://www.extremetech.co...package-silicon-photonics http://www.extremetech.co...t-to-break-100gbs-barrier (Nvm het gebruik van inaccurate woorden als "first ever".)

* The Machine & memristor
http://www.extremetech.co...ors-and-silicon-photonics
http://www.extremetech.co...conventional-technologies
http://www.extremetech.co...works-like-brain-synapses
https://en.wikipedia.org/wiki/Memristor
nieuws: HP werkt aan nieuw type computer met memristors en optische datacommunicatie
nieuws: Memcomputer verwerkt data op vergelijkbare manier als menselijk brein

* 3D XPoint, silicon photonics en Omni-Path
http://www.anandtech.com/...mance-endurance-than-nand
http://www.nextplatform.c...point-memory-performance/
http://files.shareholder....NGNVM_Final_CROOKE_nn.pdf (pdf)
http://files.shareholder....SiPh_Final_BJORLIN_nn.pdf (pdf)
http://www.nextplatform.c...e-systems-with-omni-path/
http://www.intel.com/cont...ture-fabric-overview.html
https://ramcloud.atlassia...Date=1441327130864&api=v2 (pdf)
http://www.hpcwire.com/20...kes-center-stage-at-sc15/
http://www.anandtech.com/...s-omnipath-network-fabric
http://www.techrepublic.c...ize-data-centers-in-2015/
http://www.intel.com/cont...n-photonics-research.html
http://spectrum.ieee.org/...ronics/linking-with-light

http://cdn.static-economist.com/sites/default/files/imagecache/original-size/images/2015/04/blogs/economist-explains/20150425_woc302.png

Update: De lezer kan eventueel ook geÔnteresseerd zijn in volgende technische serie van The Next Platform: Drilling Down Into The Machine From HPE.

Calculus in 1000 woorden

Door witeken op maandag 21 december 2015 08:00 - Reacties (15)
Categorie: -, Views: 4.621

(PDF-versie: klik hier)

Calculus in 1000 woorden

Calculus is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met veranderingen van algebraÔsche functies wanneer deze met heel kleine hoeveelheden veranderen. Dat heet de differentiaalrekening. Net zoals je maal en gedeeld door hebt, en je exponentiŽle en logaritmische functies hebt, bestaat er ook de omgekeerde bewerking om het ‘totaal’ van kleine hoeveelheden terug te volmaken. Die tweede tak heet de integraalrekening. Ik begin chronologisch.

(Hoewel velen wellicht al kennis hebben van onderstaande, denk ik dat het toch wel eens interessant kan zijn om het op deze manier te benaderen (pun), vanuit een iets ongebruikelijker perspectief.)

Wie ervaring met algebra heeft, weet dat algebra functies bestudeert, waarbij de veranderlijke y afhangt van de onafhankelijk veranderlijke x. Je onderzoekt de functie, die je op een assenstelsel kan tekenen, van y die verandert als je steeds een andere waarde van x ingeeft in je functievoorschrift. Het aanbod bestaat uit constante functies (evenwijdig met de x-as), rechte lijnen, parabolen, hyperbolen, goniometrische en cyclometrische functies, en logaritmische en exponentiŽle functies.

Waar we ons in de differentiaalrekening mee bezighouden, is ons afvragen hoeveel y verandert als je x verandert. Je onderzoekt de waarde van verandering. Of in het Engels:rate of change. Wat is, met andere woorden, het verband -- of liever: de helling -- tussen opeenvolgende x’jes? Als je dat verband zoekt voor een functie, ben je aan het afleiden. Je zoekt de afgeleide. IntuÔtief betekent dit dat je het gemiddelde zoekt tussen 2 x-waarden: dat is een quotiŽnt dat zegt hoeveel (y) je aflegt per eenheid van iets anders (x). Maar omdat we dit heel precies willen weten, zoeken we het verband tussen x-waarden die onbeperkt dicht bij elkaar liggen. Dus je vraagt je af: stel dat ik x met een heel klein beetje doe toenemen, met hoeveel stijgt of daalt de y-coŲrdinaat dan?

Dit brengt ons bij de eerste notatie: dx = een klein beetje van x.

Met die informatie kunnen we al twee afgeleiden bepalen. Eerst die van een constante functie. Hoe verandert de waarde van y ten opzichte van de “vorige” y (die dus dx eerder ligt op de grafiek)? De positie blijft steeds hetzelfde, dus het verband is 0. De tweede functie is cx, met c elke willekeurige constante naar keuze. Als je x verhoogt met 1, dan neemt y toe met c. Als je x verhoogt met 2, dan neemt y toe met 2c, wat te vereenvoudigen is tot c. De mate van verandering is dus evenredig met c (zonder de x).

Voor moeilijkere functies blijft het niet zo simpel, en we willen ook een iets rigoureuzere notatie. Hier beperk ik mezelf tot de parabool die voldoet aan y = x≤. Maar om het systeem van de differentiaalrekening uit te leggen ga ik de functie niet gebruiken. Er bestaat een veel intuÔtievere manier om het systeem duidelijk te maken. Neem een vierkant met zijde x.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/CalculusMadeEasy_ThompsonFg2%263.jpg/440px-CalculusMadeEasy_ThompsonFg2%263.jpg
https://upload.wikimedia....eEasy_ThompsonFg2%263.jpg

De oppervlakte van dit vierkant, dat we y noemen, is gelijk aan x≤. Als we de afgeleide willen bepalen, onderzoeken we dus wat er gebeurt als we x met een klein beetje laten toenemen. We beginnen met:

y = x≤

We voegen dx toe, zoals op de afbeelding te zien is. We weten dat y nu ook zal veranderen, met dy, al weten we nog niet met hoeveel. Dat maakt:

y + dy = (x + dx)≤

We werken het merkwaardig product uit.

y + dy = x≤ + 2xdx + dx≤

Omdat we een minder rigoureuze methode gebruiken, gaan we onszelf nu toelaten een kleine (illegale) verdwijntruc te doen, al zal ik die hierna wel uitleggen. We gaan dx≤ schrappen. Herinner je dat dx een kleine hoeveelheid is. Welnu, als dx als heel weinig van 0 afwijkt, hoeveel insignificanter zal dx≤ dan zijn? In dx zijn we geÔnteresseerd omdat het een kleine hoeveelheid is, maar een hoeveelheid van de tweede orde van kleinheid, zal weinig boeiend zijn. Een mens ook zal het vervelend vinden als er een vlieg op en rond hem zit, maar om een eventuele “vlieg van een vlieg”, waar die vlieg last van kan hebben, zal hij niet minder kunnen rouwen. Dit zie je ook op het schema.

y + dy = x≤ + 2xdx

We weten dat y = x≤, dus we schrappen.

dy = 2xdx

We houden ons echter bezig met de mate van verandering als dx verandert, dus we delen dx weg om een quotiŽnt uit te komen: het differentiaalquotiŽnt genoemd. Et voilŗ!

𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 2𝑥

De reden dat het interessant is om het op die manier te bekijken, als een quotiŽnt, is omdat andere veelgebruikte notaties – namelijk (hier): f'(x≤), (x≤)’ en Dx≤ – dit achterwege laten, waardoor de eigenlijke betekenis verwaarloosd wordt.

Dit kan je voor alle machten toepassen, en de algemene regel wordt dan:

𝑑𝑦/𝑑𝑥 (𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

Als je een bepaalde waarde invult, gaat dit op de grafiek de (richtingscoŽfficiŽnt van de) raaklijn van de oorspronkelijke functie geven. In de fysica niet de gemiddelde snelheid, maar de ogenblikkelijke snelheid.

https://i.imgur.com/m2VQAqU.gif
https://i.imgur.com/m2VQAqU.gif/

Nu kunnen we inzien waarom we die dx≤ hebben verwijderd. Een raaklijn raakt een grafiek in slechts ťťn punt. Als we dx≤ hadden behouden, hadden we de helling tussen twťť punten berekend. Rigoureus zegt men dat je de limiet berekent als dx (ook wel delta x genoemd) naar nul gaat.

Verder. Aangezien het teken aangeeft of de raaklijn positief of negatief is, ga je aan de hand van de afgeleide kunnen weten of een functie stijgend of dalend in een punt is. Als je de nulpunten berekent, ga je de maxima en minima van een functie te weten kunnen komen. Maar nog interessanter: je kunt dit gebruiken om aan integraalrekening te doen.

Wat nu immers als we het omgekeerde willen doen? Stel dat we een klein beetje y hebben, dy, en we willen terug naar de “volledige” y? Ten eerste kunnen we het quotiŽnt terug ongedaan maken:

dy = 2xdx

Het enige wat we nu nog moeten doen, is een bewerking introduceren, die we langs beide leden uitvoeren, die we definiŽren om ons de volledige y te geven. De integraal. Je kan je dit anders voorstellen als dat je de som neemt van alle kleine x’jes (dx). Dit is perfect legaal, net zoals je evengoed de log kan nemen van beide leden, of wat dan ook.

∫𝑑𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥

Wat ons dus geeft:

𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥≤

Die laatste stap is niet moeilijk… zolang je weet welke functie, wanneer je hem afleidt, de waarde tussen het integraalteken en dx geeft. Anders zal het iets moeilijker worden ;). Voor machten is de algemene regel:

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 / (𝑛+1)

Huiswerk: bereken de afgeleide van het tweede lid.

Tot slot willen we nog de betekenis weten. Beschouw de functie y = 2x.

Als we nu even terugkomen op die 2xdx… wat is dat? Een product van twee hoeveelheden. Maar wat doe je eigenlijk wanneer je het product neemt van twee getallen (Cf. het quotiŽnt)? Je berekent een oppervlakte (lengte maal breedte)! Niet van ťťn rechthoek, maar van oneindig veel (vandaar het integraalteken) kleine rechthoekjes waarbij de breedte nul benadert. Dat is handig wanneer je de oppervlakte van figuren wilt berekenen met zijden die niet (alleen) uit rechte lijnen bestaan.

https://i.imgur.com/VnZF8PL.png
https://i.imgur.com/VnZF8PL.png

Om dit te illustreren ga ik me echter beperken tot de simpele functie y = 2x. De basis is dus x en de hoogte is 2x. Met wat simpele algebra kunnen we oppervlakte berekenen van het stuk onder de lijn, wat ons uiteraard telkens een driehoek oplevert.

https://i.imgur.com/wKFarxv.jpg
https://i.imgur.com/wKFarxv.jpg

Voor x = 1: Opp = (b . h) / 2 = (1 . 2) / 2 = 1
Voor x = 2: Opp = (b . h) / 2 = ( 2 . 4) / 2 = 4
Voor x = 3: Opp = (b . h) / 2 = (3 . 6) / 2 = 9
Voor x = 4: Opp = (b . h) / 2 = (4 . 8) / 2 = 16

En inderdaad, de oppervlakte volgt exact de waarden die de integraal van 2x voorspelt. Algemeen:

Opp = (b . h) / 2 = (x . 2x) / 2 = x≤

We hebben terug onze oorspronkelijke functie. De cirkel is rond.

Samenvatting

dy = een klein beetje van y
∫𝑑𝑦 = alles van y

Hoewel dy en dx beide oneindig klein zijn, is hun verhouding dat niet: dat is de afgeleide. De integraal is het omgekeerde proces.


Bronvermelding: Dit blog is voor een groot deel geÔnspireerd door een inmiddels gratis te lezen boek 'Calculus Made Easy'.