Calculus in 1000 woorden

Door witeken op maandag 21 december 2015 08:00 - Reacties (15)
Categorie: -, Views: 4.648

(PDF-versie: klik hier)

Calculus in 1000 woorden

Calculus is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met veranderingen van algebraÔsche functies wanneer deze met heel kleine hoeveelheden veranderen. Dat heet de differentiaalrekening. Net zoals je maal en gedeeld door hebt, en je exponentiŽle en logaritmische functies hebt, bestaat er ook de omgekeerde bewerking om het ‘totaal’ van kleine hoeveelheden terug te volmaken. Die tweede tak heet de integraalrekening. Ik begin chronologisch.

(Hoewel velen wellicht al kennis hebben van onderstaande, denk ik dat het toch wel eens interessant kan zijn om het op deze manier te benaderen (pun), vanuit een iets ongebruikelijker perspectief.)

Wie ervaring met algebra heeft, weet dat algebra functies bestudeert, waarbij de veranderlijke y afhangt van de onafhankelijk veranderlijke x. Je onderzoekt de functie, die je op een assenstelsel kan tekenen, van y die verandert als je steeds een andere waarde van x ingeeft in je functievoorschrift. Het aanbod bestaat uit constante functies (evenwijdig met de x-as), rechte lijnen, parabolen, hyperbolen, goniometrische en cyclometrische functies, en logaritmische en exponentiŽle functies.

Waar we ons in de differentiaalrekening mee bezighouden, is ons afvragen hoeveel y verandert als je x verandert. Je onderzoekt de waarde van verandering. Of in het Engels:rate of change. Wat is, met andere woorden, het verband -- of liever: de helling -- tussen opeenvolgende x’jes? Als je dat verband zoekt voor een functie, ben je aan het afleiden. Je zoekt de afgeleide. IntuÔtief betekent dit dat je het gemiddelde zoekt tussen 2 x-waarden: dat is een quotiŽnt dat zegt hoeveel (y) je aflegt per eenheid van iets anders (x). Maar omdat we dit heel precies willen weten, zoeken we het verband tussen x-waarden die onbeperkt dicht bij elkaar liggen. Dus je vraagt je af: stel dat ik x met een heel klein beetje doe toenemen, met hoeveel stijgt of daalt de y-coŲrdinaat dan?

Dit brengt ons bij de eerste notatie: dx = een klein beetje van x.

Met die informatie kunnen we al twee afgeleiden bepalen. Eerst die van een constante functie. Hoe verandert de waarde van y ten opzichte van de “vorige” y (die dus dx eerder ligt op de grafiek)? De positie blijft steeds hetzelfde, dus het verband is 0. De tweede functie is cx, met c elke willekeurige constante naar keuze. Als je x verhoogt met 1, dan neemt y toe met c. Als je x verhoogt met 2, dan neemt y toe met 2c, wat te vereenvoudigen is tot c. De mate van verandering is dus evenredig met c (zonder de x).

Voor moeilijkere functies blijft het niet zo simpel, en we willen ook een iets rigoureuzere notatie. Hier beperk ik mezelf tot de parabool die voldoet aan y = x≤. Maar om het systeem van de differentiaalrekening uit te leggen ga ik de functie niet gebruiken. Er bestaat een veel intuÔtievere manier om het systeem duidelijk te maken. Neem een vierkant met zijde x.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/CalculusMadeEasy_ThompsonFg2%263.jpg/440px-CalculusMadeEasy_ThompsonFg2%263.jpg
https://upload.wikimedia....eEasy_ThompsonFg2%263.jpg

De oppervlakte van dit vierkant, dat we y noemen, is gelijk aan x≤. Als we de afgeleide willen bepalen, onderzoeken we dus wat er gebeurt als we x met een klein beetje laten toenemen. We beginnen met:

y = x≤

We voegen dx toe, zoals op de afbeelding te zien is. We weten dat y nu ook zal veranderen, met dy, al weten we nog niet met hoeveel. Dat maakt:

y + dy = (x + dx)≤

We werken het merkwaardig product uit.

y + dy = x≤ + 2xdx + dx≤

Omdat we een minder rigoureuze methode gebruiken, gaan we onszelf nu toelaten een kleine (illegale) verdwijntruc te doen, al zal ik die hierna wel uitleggen. We gaan dx≤ schrappen. Herinner je dat dx een kleine hoeveelheid is. Welnu, als dx als heel weinig van 0 afwijkt, hoeveel insignificanter zal dx≤ dan zijn? In dx zijn we geÔnteresseerd omdat het een kleine hoeveelheid is, maar een hoeveelheid van de tweede orde van kleinheid, zal weinig boeiend zijn. Een mens ook zal het vervelend vinden als er een vlieg op en rond hem zit, maar om een eventuele “vlieg van een vlieg”, waar die vlieg last van kan hebben, zal hij niet minder kunnen rouwen. Dit zie je ook op het schema.

y + dy = x≤ + 2xdx

We weten dat y = x≤, dus we schrappen.

dy = 2xdx

We houden ons echter bezig met de mate van verandering als dx verandert, dus we delen dx weg om een quotiŽnt uit te komen: het differentiaalquotiŽnt genoemd. Et voilŗ!

𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 2𝑥

De reden dat het interessant is om het op die manier te bekijken, als een quotiŽnt, is omdat andere veelgebruikte notaties – namelijk (hier): f'(x≤), (x≤)’ en Dx≤ – dit achterwege laten, waardoor de eigenlijke betekenis verwaarloosd wordt.

Dit kan je voor alle machten toepassen, en de algemene regel wordt dan:

𝑑𝑦/𝑑𝑥 (𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

Als je een bepaalde waarde invult, gaat dit op de grafiek de (richtingscoŽfficiŽnt van de) raaklijn van de oorspronkelijke functie geven. In de fysica niet de gemiddelde snelheid, maar de ogenblikkelijke snelheid.

https://i.imgur.com/m2VQAqU.gif
https://i.imgur.com/m2VQAqU.gif/

Nu kunnen we inzien waarom we die dx≤ hebben verwijderd. Een raaklijn raakt een grafiek in slechts ťťn punt. Als we dx≤ hadden behouden, hadden we de helling tussen twťť punten berekend. Rigoureus zegt men dat je de limiet berekent als dx (ook wel delta x genoemd) naar nul gaat.

Verder. Aangezien het teken aangeeft of de raaklijn positief of negatief is, ga je aan de hand van de afgeleide kunnen weten of een functie stijgend of dalend in een punt is. Als je de nulpunten berekent, ga je de maxima en minima van een functie te weten kunnen komen. Maar nog interessanter: je kunt dit gebruiken om aan integraalrekening te doen.

Wat nu immers als we het omgekeerde willen doen? Stel dat we een klein beetje y hebben, dy, en we willen terug naar de “volledige” y? Ten eerste kunnen we het quotiŽnt terug ongedaan maken:

dy = 2xdx

Het enige wat we nu nog moeten doen, is een bewerking introduceren, die we langs beide leden uitvoeren, die we definiŽren om ons de volledige y te geven. De integraal. Je kan je dit anders voorstellen als dat je de som neemt van alle kleine x’jes (dx). Dit is perfect legaal, net zoals je evengoed de log kan nemen van beide leden, of wat dan ook.

∫𝑑𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥

Wat ons dus geeft:

𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥≤

Die laatste stap is niet moeilijk… zolang je weet welke functie, wanneer je hem afleidt, de waarde tussen het integraalteken en dx geeft. Anders zal het iets moeilijker worden ;). Voor machten is de algemene regel:

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 / (𝑛+1)

Huiswerk: bereken de afgeleide van het tweede lid.

Tot slot willen we nog de betekenis weten. Beschouw de functie y = 2x.

Als we nu even terugkomen op die 2xdx… wat is dat? Een product van twee hoeveelheden. Maar wat doe je eigenlijk wanneer je het product neemt van twee getallen (Cf. het quotiŽnt)? Je berekent een oppervlakte (lengte maal breedte)! Niet van ťťn rechthoek, maar van oneindig veel (vandaar het integraalteken) kleine rechthoekjes waarbij de breedte nul benadert. Dat is handig wanneer je de oppervlakte van figuren wilt berekenen met zijden die niet (alleen) uit rechte lijnen bestaan.

https://i.imgur.com/VnZF8PL.png
https://i.imgur.com/VnZF8PL.png

Om dit te illustreren ga ik me echter beperken tot de simpele functie y = 2x. De basis is dus x en de hoogte is 2x. Met wat simpele algebra kunnen we oppervlakte berekenen van het stuk onder de lijn, wat ons uiteraard telkens een driehoek oplevert.

https://i.imgur.com/wKFarxv.jpg
https://i.imgur.com/wKFarxv.jpg

Voor x = 1: Opp = (b . h) / 2 = (1 . 2) / 2 = 1
Voor x = 2: Opp = (b . h) / 2 = ( 2 . 4) / 2 = 4
Voor x = 3: Opp = (b . h) / 2 = (3 . 6) / 2 = 9
Voor x = 4: Opp = (b . h) / 2 = (4 . 8) / 2 = 16

En inderdaad, de oppervlakte volgt exact de waarden die de integraal van 2x voorspelt. Algemeen:

Opp = (b . h) / 2 = (x . 2x) / 2 = x≤

We hebben terug onze oorspronkelijke functie. De cirkel is rond.

Samenvatting

dy = een klein beetje van y
∫𝑑𝑦 = alles van y

Hoewel dy en dx beide oneindig klein zijn, is hun verhouding dat niet: dat is de afgeleide. De integraal is het omgekeerde proces.


Bronvermelding: Dit blog is voor een groot deel geÔnspireerd door een inmiddels gratis te lezen boek 'Calculus Made Easy'.

Volgende: The Machine wordt realiteit in 2016... maar niet door HP 12-'15 The Machine wordt realiteit in 2016... maar niet door HP
Volgende: 10nm - Intel en Innovatie (2/2) 11-'15 10nm - Intel en Innovatie (2/2)

Reacties


Door Tweakers user Sjoerdfoto, maandag 21 december 2015 15:16

Interessant. Ik zit nu inmijn derde jaar aan de HTS-Autotechniek te Arnhem. Vorig jaar ook deze stof gehad. Hoewel ik niet alles in detail heb doorgelezen, toch een vraag/opmerking.

Mij is altijd geleerd: x^2 = -1.

zo zullen bij het integreren en differentiŽren toch andere waarden volgen.

Door Tweakers user Seroo, maandag 21 december 2015 15:55

x^2 is niet meer dan x (keer) x.
Ik snap niet hoe je er bij komt dat x^2 altijd -1 is, aangezien x veranderd.
i^2 is wel -1, maar dat is onderdeel van imaginaire getallen. Daar is de blog nog niet aan toe.

----
Wel echt een leuke blogpost trouwens. Je legt het op een heldere manier uit. Heeft bij mij in ieder geval nog voor een extra stukje inzicht gezorgd.

[Reactie gewijzigd op maandag 21 december 2015 15:56]


Door Tweakers user witeken, maandag 21 december 2015 16:14

Seroo schreef op maandag 21 december 2015 @ 15:55:
Daar is de blog nog niet aan toe.
Ik denk niet dat hier nog vervolgdelen van zullen komen (:

Door Tweakers user migchiell, maandag 21 december 2015 23:12

Ik kan soort van zien dat je het helder en stapje voor stapje uitlegt, maar al gauw verandert het allemaal in Chinees voor. Of Chinees op zn kop.

Heb bepaald geen wiskundeknobbel, was het na mn schooltijd bijna vergeten maar het is weer pijnlijk duidelijk nu :-)

Door Tweakers user witeken, dinsdag 22 december 2015 08:24

Het is natuurlijk een kunst op zich om iets, zeker iets als wiskunde, uit te leggen aan iemand die er niets over weet. Wat dat betreft was het niet zo'n goed idee om me tot 1000 woorden te beperken.

Door Tweakers user 148406, dinsdag 22 december 2015 09:59

Sjoerdfoto schreef op maandag 21 december 2015 @ 15:16:
Interessant. Ik zit nu inmijn derde jaar aan de HTS-Autotechniek te Arnhem. Vorig jaar ook deze stof gehad. Hoewel ik niet alles in detail heb doorgelezen, toch een vraag/opmerking.

Mij is altijd geleerd: x^2 = -1.

zo zullen bij het integreren en differentiŽren toch andere waarden volgen.
't is triestig gesteld met de HTS-opleidingen...

Door Tweakers user Seroo, dinsdag 22 december 2015 11:20

techsolo schreef op dinsdag 22 december 2015 @ 09:59:
[...]
't is triestig gesteld met de HTS-opleidingen...
Ik doe ook een technische opleiding op het HBO. Het verschilt per instelling, docent en ook per student natuurlijk.

Door Tweakers user Gamebuster, dinsdag 22 december 2015 12:19

Wie gaat de woorden tellen?

Door Tweakers user witeken, dinsdag 22 december 2015 12:24

Ssshhht, volgens Word zit ik op 1280 woorden totaal O-).

Door Tweakers user lunarmoon, dinsdag 22 december 2015 22:07

In 1972 heb ik dit gedaan om mijn "electrical" en "machinca" engineurs diplomas te halen. Allen zoals je zegt gaat het nog velemaal verder en wordt het echt hard zwoegen om bij te blijven. Vooral als je bij integraties etc. komt.

Door Tweakers user lunarmoon, dinsdag 22 december 2015 22:08

lunarmoon schreef op dinsdag 22 december 2015 @ 22:07:
In 1972 heb ik dit gedaan om mijn "electrical" en "machinca" engineurs diplomas te halen. Allen zoals je zegt gaat het nog velemaal verder en wordt het echt hard zwoegen om bij te blijven. Vooral als je bij integraties etc. komt. Leuk om dit stof weer eens te lezen. Zal het bookmarken om de vervolg te lezen.

Door Tweakers user jasper623, dinsdag 22 december 2015 22:31

Leuk verhaal maar je kan het natuurlijk niet de hele calculus noemen(multivariabelen, poolcoŲrdinaten etc. Komen hier natuurlijk ook bij kijken)

Daarnaast om je verhaal iets correcter te maken, je zegt dat dx*dx heel klein is, maar eigenlijk maak je dx steeds kleiner naar het limiet 0. In het limiet valt dx*dx weg en kom je op dy/dx=2x uit.

Dit zijn wel de makkelijkste voorbeelden uit calculus. Verder wil ik niet vervelend zijn en vind ik het top dat je dit soort interessante texten schrijft en wilt delen met ons;)

Door Tweakers user HellStorm666, woensdag 23 december 2015 10:22

Seroo schreef op maandag 21 december 2015 @ 15:55:
[...]


x^2 is niet meer dan x (keer) x.
Ik snap niet hoe je er bij komt dat x^2 altijd -1 is, aangezien x veranderd.
i^2 is wel -1, maar dat is onderdeel van imaginaire getallen. Daar is de blog nog niet aan toe.

----
Wel echt een leuke blogpost trouwens. Je legt het op een heldere manier uit. Heeft bij mij in ieder geval nog voor een extra stukje inzicht gezorgd.
Het zou kunnen dat ze bij hem op school x als vervanger van i gebruiken. Omdat i ook voor stroom gebruikt wordt.
Bij mij op de HTS (Embedded systems engineering) werd altijd j gebruikt voor imaginair. Ook omdat i al voor stroom was.

Hoe dan ook.
Erg mooie en duidelijke uitleg.

Kijk nu al uit naar je uitleg van het imaginair rekenen (i≤=-1 maar wortel(-1) kan niet :) )

Door Tweakers user witeken, woensdag 23 december 2015 10:29

Waarom denkt iedereen dat ik een blog over complexe getallen ga schrijven :(? Nu schep ik te hoge, onrealistische verwachtingen O-). Ik wil best wel nog blogs schrijven over wiskunde, maar ik schrijf alleen blogs als ik denk dat ik iets van waarde kan toevoegen aan het onderwerp. We zullen zien, ik heb wel een paar ideetjes.

[Reactie gewijzigd op woensdag 23 december 2015 10:30]


Door Tweakers user Sissors, woensdag 23 december 2015 16:04

HellStorm666 schreef op woensdag 23 december 2015 @ 10:22:
[...]


Het zou kunnen dat ze bij hem op school x als vervanger van i gebruiken. Omdat i ook voor stroom gebruikt wordt.
Bij mij op de HTS (Embedded systems engineering) werd altijd j gebruikt voor imaginair. Ook omdat i al voor stroom was.

Hoe dan ook.
Erg mooie en duidelijke uitleg.

Kijk nu al uit naar je uitleg van het imaginair rekenen (i≤=-1 maar wortel(-1) kan niet :) )
De reden dat we daarvoor j gebruiken is dat die nog vrij was (niet helemaal, gezien het in principe ook stroomdichtheid is, maar die wordt toch enkel door device physici gebruik). X gebruiken als i lijkt me extreem verwarrend, dus ik neem aan dat hij gewoon even wat door elkaar haalt.

Overigens is de wortel(-1) gewoon j (of i) hoor. (Het zou misschien kunnen dat wiskundige weer moeilijk doen, maar daarom negeren wij ingenieurs ook wiskundigen. Minstens de helft van wat we rekenen met oneindig, is puur wiskundig gezien onjuist. Maar het werkt wel).

Reageren is niet meer mogelijk