Het getal e

Door witeken op dinsdag 16 februari 2016 08:00 - Reacties (10)
Categorie: -, Views: 4.658

(Wie omwille van de wiskundige vergelijkingen liever een pdf-versie leest: klik hier.)

De betekenis van het getal e

Het getal pi dat iedereen kent is genoemd naar de zestiende letter uit het Griekse alfabet. In dit blogje wil ik de betekenis van de minstens even belangrijke constante e uitleggen op een manier die hopelijk de merkwaardigheid ervan laat aanvoelen. Als je al weet wat e is (die kans is reŽel, pun), vergeet dan even alles wat je erover weet. Dit is voor een deel een vervolg op mijn vorig artikel ‘Calculus in 1000 woorden’.

De basis: Algebra – exponentiŽle en logaritmische functies
Maar eerst even de basis opfrissen. Wanneer je een getal hebt, kan je daar twee elementaire bewerkingen mee doen: je kan er bij elke stap een vast getal bij optellen, of je kan het getal met een vast getal vermenigvuldigen. Zo krijg je respectievelijk een zogenaamd rekenkundige rij of een meetkundige rij. Wat mensen bijvoorbeeld traditioneel zien als het gemiddelde is het meetkundige gemiddelde, bijvoorbeeld van 1 en 9 is 5. Het meetkundig gemiddelde daarentegen is 3. De formule voor die laatste is: b≤ = a*c. Het kwadraat van drie is inderdaad gelijk aan ťťn keer negen.

Wat de algebra doet is dit veralgemenen of abstraheren. Je introduceert een variabele, bij conventie x, die verschillende waarden kan aannemen in een functievoorschrift. De waarde van dat functievoorschrift y hangt af van de waarde van x, wat dus de afhankelijk veranderlijke variabele wordt genoemd. Omdat mensen graag visueel werken kan je dit voorstellen in een xy-assenstelsel. Omdat precies ťťn getal hoort bij een functie per waarde van het x’je, krijg je een lijn. Een meetkundige rij kan je dan voorstellen met y = m*x + b. De letter b is je beginwaarde, en met elke x tel je daar m bij op of af – een rechte lijn.

De reden overigens dat we ons Łberhaupt bezighouden met het spelletje om een letter voor te stellen door x (of eventueel meerdere variabelen) is meestal omdat je bepaalde eisen kan stellen aan een functie. De industrie wilt bijvoorbeeld dat de winst maximaal is, een fysicus wil misschien een bepaalde grootheid, zoals de kracht of versnelling of potentiaal, berekenen. Of hij wilt andere curiositeiten oplossen, fermiproblemen genoemd [1], naar de wetenschapper. Het klassieke voorbeeld is hoeveel pianostemmers er in [insert megapolis x] zijn. Een serieuzer fermiprobleem dat wetenschappers uitrekenden tijdens het Manhattenproject was of een atoomwapen niet de hele atmosfeer zou vernietigen. De kracht is zoveel groter dat elke vergelijking met klassieke wapens de lucht in gaat, waardoor een benadering van hoeveel schade die zal doen toch wel belangrijk was. Laatste voorbeeld is dat architecten graag dingen als booglengtes en oppervlakten en inhouden berekenen.

Hoe stel je een meetkundige reeks voor? Met elke x wil je met een bepaalde hoeveelheid, namelijk a, vermenigvuldigen. We kunnen x dus best in de exponent van a plaatsen. Wat bepaalt dan de beginwaarde? Als x = 0, dan a = 1, dus als je beginwaarde zeven is, vermenigvuldig je met het getal zeven, of algemeen met b. Resultaat: y = b*ax. Uiteraard weten de fervente wiskundigen hoe ze die functie, die we nu een exponentiŽle functie zullen noemen, naar hun hand moeten zetten. Je kan nog constanten toevoegen en dergelijke. De mogelijkheden zijn eindeloos. Mijn favorieten voorbeeld hiervan is de algemene sinusfunctie: y = a * sin(b * (x + c)) + d. Ik kan me voorstellen dat het voor liefhebbers een genot moet zijn om de vier variabelen van die functie te tweaken…

Maar laten we zelf onze handen eens vuil maken. Als oefening gaan we berekenen hoe het nu ťcht met de wet van Moore gesteld is, nl. wat de gemiddelde tijd per verdubbeling is. Wikipedia vertelt me dat de Intel 4004, de eerste microprocessor, een hoeveelheid van 2.300 transistors had, anno 1971. We nemen voor het gemak die datum waarop x = 0.

y = b * a0
=> 2300 = b * 1

Omdat we willen weten hoe het zit met het aantal exacte verdubbelingen, is de keuze van a triviaal.

Functievoorschrift: y = 2300 * 2x

Hoeveel transistors heeft een chip tegenwoordig (ik laat de invloed van de grootte van de silicon chip als oefening voor de lezer)? Wikipedia: de beste GPU uit Nvidia’s GTX 9xx-serie heeft er 8B, anno 2015. Op dat tijdstip is x = 44/2, omdat de verdubbeling elke twee jaar moet zijn volgende de algemeen aanvaarde definitie van Moore’ Law.

8.000.000.000 = 2300 * 222

Verifieer dat dit niet klopt. We hebben dus een nieuwe veranderlijke nodig. Aangezien het aantal transistors hetzelfde blijft, moeten we de 22 veranderen; er zijn niet exact 22 verdubbelingen geweest.

3.5 * 106 = 2x

En dit is het moment waarop ik de yang-functie moet introduceren van de exponentiŽle yin. In mijn blog over calculus vermeldde ik reeds dat men in wiskunde graag beide richtingen uitgaat, dus eens je kan afleiden wil je graag ook terug. Eens je kan exponentiŽren, wil je graag ook terug.

Dit wordt het logaritme genoemd. Meer bepaald is het logaritme de inverse functie van een exponentiŽle. Grafisch is dit het spiegelbeeld van de oorspronkelijke functie om de as y = x. De algemene vorm is:

logbase x = y

Bijvoorbeeld y = log10 100. Om y te vinden lees je dit als: “Tot welke exponent moet ik de base (of het grondtal, hier: 10) verheffen zodat ik y (hier: 100) uitkom?” Bij conventie wordt bij log10 de 10 wegelaten. Nog een oefening: wat is log4 16? Als je vier tot de tweede verheft krijg je zestien, dus twee.

Dit geeft een hint, al is het verband met exponenten misschien niet meteen volledig duidelijk. Herinner je dat als je de inverse neemt, je de variabelen x en y van plaats omwisselt, iets wat triviaal is bij y = x.

y = 10x

Een logaritme stelt: tot welk getal moet ik x verheffen om y te bekomen? Maar hier heb je: wat is y als ik tien verhef tot x? Dat opent interessante mogelijkheden. Ik introduceer nu het logaritme in beide leden.

log y = log10 (10x)

Vraag je nu af over het rechterlid: tot welk getal moet ik 10 verheffen om tien tot de x te krijgen? Dat is x! Als je het logaritme neemt van het grondtal tot een getal, krijg je dat getal zelf! Zo ook is log10 103 gelijk aan 3.

log y = x

Terug naar een functie met x.

y = log x

Verifieer dat als je het grondtal tien neemt, en je verplaatst y naar de exponent, je dezelfde uitdrukking krijgt als die waarmee we begonnen zijn, met de naam van de variabelen verwisseld.

In grafische vorm krijg je een duidelijker beeld.

http://thsprecalculus.weebly.com/uploads/7/0/8/1/7081416/7277124_orig.gif

Merk op dat het domein bij een exponentiŽle functie onbegrensd is, terwijl het beeld of bereik van 0 tot plus oneindig gaat. Bij de logaritmische functie is het omgekeerd. Het domein start bij nul, terwijl nu het beeld/bereik onbegrensd is. Dat laatste is echter niet op het eerste gezicht voor de hand liggend. Waar de exponentiŽle sterk stijgt, zie je dat groei naar boven er bij de logaritmische snel uit is en blijft verminderen. Wie van deze trage groei op een meer visceral way een gevoel wilt krijgen, kan ik aanraden de volgende 22 minuten van volgend filmpje te bekijken (11 min. op 2x snelheid). Absoluut de moeite waard. (De volledige 22 want de ontknoping komt pas op het einde...)


YouTube: Lec 38 | MIT 18.01 Single Variable Calculus, Fall 2007

Terug naar Moore. Nu is de rest vanzelfsprekend:

log2 (3.5 * 106) = log2 (2x)

<=> log2 (3.5 * 106) = x
<=> x = 21.7

Ik was nu van plan om te berekenen wat dan wel de tijd per verdubbeling is, maar merk op hoe dicht dit het echte getal benadert! 1971 + 2*21.7 = 2014, afgerond zou het zelfs 2015 zijn. De laatste generatie uit 2015 met 8B transistors was dus maar ťťn jaar te laat! Tot zover dus het einde van de wet van Moore. Nu naar echt serieuze zaken: calculus.

Calculus revisited
Even een kleine opfrissing van waar ik vorige blog geŽindigd was. Nu zullen we het deel integraalrekening niet nodig hebben.

Ik heb een functie y = x≤ genomen en geprobeerd om een functie y’ of f’(x) of dy/dx te vinden die je de raaklijn geeft bij elk overeenkomstig punt van y. Hier is y’ = 2x. De algemene formule:

dy/dx = n * xn-1

Oefening: leidt x3/3 af.

Merk dus op dat bij een veelterm, de graad telkens met ťťn wordt verlaagd. Dat is logisch lijkt me gezien de ‘raaklijn’ (= richtingscoŽfficiŽnt) van een lineaire functie y = mx (x1) door de constante m wordt weergegeven (x0), zie hoger. En calculus is eigenlijk niets meer dan een veralgemening van deze eenvoudige lineaire functies en bewerkingen (bv. oppervlakte rechthoek) waar we allemaal mee vertrouwd zijn. In vorige blog gaf ik onder andere aan dat je met integralen veel geavanceerdere oppervlakten en inhouden kunt berekenen. Het ingenieuze inzicht is dus dat je dit ook voor hogere exponenten kunt gebruiken.

Nu willen we ons differentiaalarsenaal echter wat uitbreiden. De afgeleide van de sinus- en cosinusfuncties eerst.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Sine_cosine_plot.svg/1280px-Sine_cosine_plot.svg.png

Focus je eerst alleen op sin(x). De afgeleide zie je door het punt te nemen en kijken wat de functie in dat punt doet. Kijk naar sin(0). Hoewel er geen normale getallen op staan, kan je zien dat het een rechte lijn is rond dat gebied, met rico 1. Kijk nu naar de functiewaarde van cos(0). Ook 1! Kijk zelf eens naar sin(pi/2).

Dsin(x) = cos(x) [er zijn veel notaties voor de afgeleide…]

Voor de cosinus zou je hetzelfde kunnen raden, maar zien we iets anders. De afgeleide van de cos(0) is inderdaad sin(0) = 0, maar de rico van cos(pi/2) = -1, terwijl de sinus daar 1 is. Heeft tot gevolg.

Dcos(x) = - sin(x)

Goniometrie kan echt een bitch zijn, maar hier is ze al bij al wel lief. Nu we een behoorlijk aantal functies kunnen afleiden, sta je wellicht te springen om die exponentiŽle en logaritmische functies at te leiden die we hierboven gebruikt hebben om te bevestigen dat Moore’s Law willy nilly nog op schema zit! Ik kan je enthousiasme begrijpen, maar daarvoor hebben we eerst eindelijk ons mythisch getal nodig: e.

Het getal e
Omdat 2x de bekendste exponentiŽle functie is neem ik die als voorbeeld, analoog aan x≤ in het vorige deel. Omdat we hier niet het trucje met het verlagen van de macht kunnen gebruiken, ga ik nu de volledige definitie van de afgeleide introduceren.

dy/dx= lim(∆x→0) [f(x + ∆x) - f(x)] / ∆x

Conceptueel niet zo moeilijk. Differentiaalrekening gaat over infinitesimalen en over richtingscoŽfficiŽnten. Net als in vorige blog voeg je een klein beetje y toe (y + dy), trek je daarna die y er terug van af (x≤ = y heb ik geschrapt), en deel je door dat beetje (laatste stap om dy/dx te bekomen, verhouding van infinitesimalen). Ze zijn dus equivalent, maar deze is formeel en omdat je met limieten kunt rekenen veelzijdiger. Let wel dat in de limiet dx nul wordt – dat is het hele punt – maar omdat je niet mag delen door nul, moet je iets slimmer te werk gaan om hier algebraÔsch iets zinnigs van te maken. Als f(x) = 2x, krijg je.

d/dx 2x = lim(∆x→0) (2x + ∆x - 2x) / ∆x

Je kan 2x in de limiet vooropplaatsen aangezien optellen bij exponentiŽle en logaritmische bewerkingen in feite vermenigvuldigen is. Optellen is echter simpeler waardoor zeker fysici dat prefereren. Dus 2x+dx = 2x.2dx.

d/dx 2x = lim(∆x→0) (2x (2∆x - 1) / ∆x

Een eigenschap van limieten (net als afgeleiden en integralen), is dat je constante factoren uit het limietteken kunt plaatsen. 2x is weliswaar geen constante maar een functie, maar het is dx dat naar nul gaat, met x zelf gebeurt niets.

d/dx 2x = 2x lim(∆x→0) (2∆x - 1) / ∆x

We gaan deze uitdrukking verder met rust laten en ons concentreren op de implicaties hiervan. Eerst gaan we een specifiek geval onderzoeken door x te vervangen door een getal. Je mag nu zelf een getal kiezen. Wie de prof Jerison van het filmpje hierboven nog wat meer gehoord heeft [2], zal misschien gezien hebben dat nul zijn lievelingsgetal is. En met rede. Met nul krijg je vaak simpele, mooie dingen die het leven gemakkelijk maken. Zeker kwantumfysici en kosmologen weten dat je anders wel eens (on)zin kunt uitkomen [3]! We krijgen dan een ander mooi getal. In het bijzonder geldt dus voor f’(0).

d/dx 20 = 20 lim(∆x→0) (2∆x - 1) / ∆x

Maar elk getal tot de macht nul is gewoon 1, waardoor die in de vermenigvuldiging wegvalt. Dus om de afgeleide bij x = 0 te kennen, moeten we nu nog weten wat die limiet ernaast inhoudt. We kunnen deze, zoals net vermeld, met de gewone rekenregels niet berekenen :-(. We weten echter wel met zekerheid dat hij bestaat :). Het is immers geometrisch gezien de rico van de raaklijn van de functie in P(0,1) die hoger op afbeelding staat. Hier kan je zelf getallen invullen om het te benaderen.

∆x(2∆x - 1) / ∆x
0.10.71773
0.010.69556
0.0010.69339
0.00010.69317


Schematisch gesteld: f’(0) = 1 * "een getal".

Merk nu op dat dit getal niet afhankelijk is van de functie y omdat we die buiten de limiet hebben gezet. We kunnen hieruit besluiten dat de afgeleide van de functie y de functie evenredig met een bepaald getal is! Laat ons die evenredigheidsfactor c noemen.

c = f'(0) = lim(∆x→0) (2∆x - 1) / ∆x ≈ 0.693

Of nog: D2x = c * 2x

De afgeleide van een exponentiŽle functie is niets meer dan die functie zelf, vermenigvuldigd met een evenredigheidsfactor. Als dat niet handig en makkelijk is!

Wanneer je deze oefening nu herhaalt maar dan de 2 telkens in een variabele a verandert, kan je aantonen dat dit niet uniek is voor de functie met grondtal 2. In het bijzonder zal immers steeds gelden dat de afgeleide bij x = 0 als uitkomst a0 maal een getal zal geven. Dit geldt dus voor elke exponentiŽle functie. Wat niet hetzelfde zal zijn, is die factor c. Hieruit besluiten we dat de evenredigheidsfactor afhangt van de groeifactor a. Hieronder enkele waarden van deze c bij andere waarden van a. Het zijn irrationale getallen.

ac = lim(∆x→0)(a∆x - 1) / ∆x
0.5- 0.6931
10
1.50.4055
20.6931
2.50.9163
31.0986
3.51.2528
......
102.3026


Wat we tot nu toe weten is dat om bij benadering de afgeleide te berekenen van ťťn van bovenstaande getallen met x in de exponent, we die functie nemen en ze vermenigvuldigen met het getal uit de tabel. Maar de aandachtige lezer moet nu iets interessants opgevallen zijn. Iets hoogst bijzonder en uniek! Nee, iets spectaculair en ongezien in alle bovenstaande uitleg over afgeleiden!

Deze waarde c blijkt namelijk zowat om het even welke waarde te kunnen aannemen, en ergens in die tabel, zal je opgemerkt hebben, meer bepaald tussen 2.5 en 3.0, gaat die waarde over van een getal in de 0.91… naar 1.09… Okť, maar wat maakt dat uit? Dat het leven eenvoudig wordt.

Ergens tussen tweeŽnhalf en drie, op een schijnbaar willekeurige plaats, moet de evenredigheidsfactor c de waarde van 1 aannemen. Maar 1 is natuurlijk geen evenredigheidsfactor, maar, analoog aan de a0, een gelijkheidsfactor. Dat betekent dus dat er een a bestaat waarvoor geldt.

Dax = c * ax = 1 * ax = ax

Dat is wel heel speciaal, want de afgeleide van de functie is dan, jawel, gelijk aan zichzelf!!! De rico van de raaklijn op elk punt is gelijk aan de y-coŲrdinaat van de functie. Wie had dat voor mogelijk gehouden? Oh ja, en dit betekent natuurlijk ook dat de integraal van die functie ook die functie zelf is, wat betekent dat de oppervlakte onder de grafiek tussen x = 0 en x gelijk is aan de functiewaarde y zelf, op een constante (meer bepaald, y minus dat speciale getal) na.

Nu hoor ik je denken: "Leuk, maar wat heeft dit nu eigenlijk met het getal e te maken? Daarvoor ben ik immers naar hier gekomen." Okť, als dit je nog niet omver blaast, weet ik het ook niet [4]! Dit Ūs het getal e.

Recapituleren: Dex = ex

Maar eigenlijk is dit wel nogal een indirecte manier om zo’n belangrijk getal te bepalen, namelijk als het getal waarvoor de evenredigheidsfactor bij de limiet van de afgeleide bij x = 0 gelijk is aan 1. Dat kan beter.

dy/dx ex = ex lim(∆x→0) (e∆x - 1) / ∆x

Bij f’(0) krijg je.

lim(∆x→0) (e∆x - 1) / ∆x = 1

Ik laat voor het gemak de limiet nu weg. Let dat dx steeds naar nul toe nadert.

(e∆x - 1) / ∆x = 1

e∆x - 1 = ∆x

e∆x = 1 + ∆x

(e∆x)1/∆x = (1 + ∆x)1/∆x

Dus e = lim (1 + x)1/x als x nadert naar 0. Of nog.

http://latex.artofproblemsolving.com/d/6/b/d6b7fe996e5ed8261f047e0a71c9f547e4f349d5.png

Dat is de exponentiŽle versie van het getal: y = ex. Het enige wat ons nog rest is om de logaritmische functie te bepalen, en daarmee uit te vinden wat de exacte evenredigheidsfactor c voor andere grondtallen is.

y = ex dus (zie eerder voor uitleg):
loge y = x dus (omkeren variabelen):

y = loge x

Maar e is belangrijk, dus krijgt het zijn eigen naam. Het natuurlijk logaritme.

y = ln x

Eťn gevolg hebben we eerder al en net gezien.

ln ey = y

Een tweede leuke eigenschap van logaritmen is dat een grondtal tot het logaritme van dat grondtal van een variabele x gelijk aan getal zelf is.

eln x = x

Als ln x betekent: "Tot welke macht moet ik het grondtal e verheffen om dat getal uit te komen?" Dan is het niet meer dan logisch dat als je e ook effectief tot die macht verheft, je die variabele uitkomt. Aangezien we een definitie van e hebben, impliceert dat voor een wiskundige dat ln een soort zwarte doos is waar je interessante dingen mee kunt doen, die je eventueel kunt openen als het nodig mocht zijn met behulp van je rekenmachine. We kunnen een getal dus herdefiniŽren om voor interessante berekeningen te gebruiken. Dus als we x vervangen door a.

a = eln a

Waarom deze spelletjes spelen? Het hele punt is dat we weten hoe we e moeten afleiden. Dat gegeven kunnen en moeten we dus ten volle uitbuiten en uitmelken. Aangezien we ax willen berekenen, doen we volgende.

(eln a)x = ax

Rekenregel: getal met exponent tot een exponent verheffen betekent exponenten vermenigvuldigen.

ex lna = ax

Afleiden met de geliefde kettingregel, dan krijg je functie zelf maal de afgeleide van de exponent.

Dexlna = exlna * D(x lna)

Dexlna = exlna * ln(a)

Via gelijkheid (zie iets hoger) terug naar de gewilde functie.

Dax = ax ln(a)

En dat is het. De constante evenredigheidsfactor c die we zochten is niets meer dan het natuurlijk logaritme van het grondtal.

Voor de volledigheid nog dit.

Dln x = 1/x

Conclusie
In volgorde heb ik exponentiŽle en logaritmische functies uitgelegd, de afgeleide van twee geliefkoosde goniometrische functies aangetoond, en dan letterlijk en figuurlijk het getal e afgeleid. Als ik tot slot de afgeleide van logaritmen in mijn conclusie zou vermelden – zoals ik nu doe :’) – zou dat langer zijn dan mijn eigenlijke behandeling ervan.

Misschien zou het nogal belachelijk zijn als dit artikel als beste benadering zei dat het tussen 2.5 en 3 ligt, dus hier een betekenisloze opeenvolging van cijfers voor alle niet-wiskundigen die geen oneindige precisie hoeven [5].

e = 2.71828182846…

Eigenlijk is het woord conclusie verkeerd. Ik heb enkel e afgeleid met wat algebra en differentialen. Hier begint het pas! Hier wordt een hele nieuwe wereld van wiskunde geopend. Wie economisch is aangelegd (ik niet, al was dat wel hoe ik zelf eerst met de betekenis van het getal in aanraking kwam), zal hier wel leuke dingen mee kunnen doen zoals de betekenis van continu samengestelde interest. Je hebt de klassieke toepassing bij radioactiviteit en differentiaalvergelijkingen. In de wiskunde zelf heb je nog fijne toepassingen. Bij reeksen, als benadering voor sinus en cosinus. Bij poolcoŲrdinaten bij de complexe getallen. En zo gaat het maar verder.

Maar dat is niet voor deze blog bestemd.



Bronvermelding: dit blog is voor een deel geÔnspireerd geweest door de leerkracht wiskunde die me dit heeft aangeleerd.

Vorig deel: Wisdom: Calculus in 1000 woorden

[0] Het verbaast me dat nog niemand een Moore's Law: corollary heeft ingevoerd: elke twee jaar verdubbelt het aantal mensen dat zegt Moore's Law gedaan is.

[1] Fermiproblemen: https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_problem. Zie ook Professor Lawrence Krauss: The secret life of physicists of hier voor de volledige toolkit van een fysicus.

[2] Zie de uitstekende cursus Calculus 1A, 1B en 1C: https://www.edx.org/cours...erentiation-mitx-18-01-1x e.v.

[3] Het probleem waar ik op doel (https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_catastrophe) is de afwijking tussen de theoretische voorspelling van de energie van het vacuŁm en de werkelijke waarde ervan. De gemeten waarde is 10120 keer de energie van alle materie in het zichtbare heelal. Als dat zo zou zijn, zou het heelal niet leefbaar zijn en gezien de enorme fout is dit dus de slechtste voorspelling in heel de fysica! Zoals in volgende link wordt uitgelegd, zou je willen dat er ťťn of andere symmetrie is die dit gigantische getal nul maakt. Maar dat is helaas niet het geval; dat is toch niet hoe de natuur werkt. Maar de wťrkelijke energie kan niet veel meer kan zijn dan alle energie (i.e. 1). “Niemand weet hoe je dat grote getal moet schrappen tot 120 decimalen om dan in het 121ste cijfer een getal over te houden om het getal niet-nul te maken!” Toch zou het zo moeten want de energie van vacuŁm is niet nul. Tot 36:45, https://youtu.be/49MQevCnM40?t=31m50s. Moraal is dat nul het het een stuk makkelijker had gemaakt.

In de kwantummechanica kom je oneindig tegen bij oneindige reeksen en worden wiskundige technieken gebruikt om die oneindigs ‘schoon te maken’.

[4] Hoewel. Voor de toekomst heb ik nog wel iets dat zťlfs e het nakijken zal moeten geven.

[5] Serieus. Volgens mij kan het niet anders dan dat fysici gewoon in de lach moeten schieten telkens wanneer ze zien hoe wiskundigen een duizelingwekkend aantal beduidende cijfers eisen! In de wetenschap, en het dagelijkse leven, ben je vaak al blij met twee of drie. Zie [1].


Ik heb me trouwens laten vertellen dat als je vergelijkingen in een tekst stopt, je per vergelijking de helft van de lezers verliest. Dus gefeliciteerd als je het tot hier geschopt hebt.

Volgende: Top 3 wiskunde-ergernissen 03-'16 Top 3 wiskunde-ergernissen
Volgende: Moore's Law voor dummies 01-'16 Moore's Law voor dummies

Reacties


Door Tweakers user armageddon_2k1, dinsdag 16 februari 2016 08:44

Zo, uitgebreide post. Die ga ik straks eens lezen.
Wat betreft het aantal vergelijkingen kwam ik op 45, wat betekent dat nog slechts (1/2)^45 = 2.84E-14 van de mensen hier is. Aangezien er 7 miljard mensen op de aardbol zijn gaat niemand dit blog dus helemaal lezen. ;-)

Door Tweakers user Eris, dinsdag 16 februari 2016 09:18

Waarom zo ingewikkeld uitleggen als het ook simpel kan..

https://www.youtube.com/embed/-dhHrg-KbJ0

Door Tweakers user Seroo, dinsdag 16 februari 2016 10:56

Wat mensen bijvoorbeeld traditioneel zien als het gemiddelde is het meetkundige gemiddelde, bijvoorbeeld van 1 en 9 is 5. Het meetkundig gemiddelde daarentegen is 3.
Deze zin klopt niet helemaal. Er wordt twee keer meetkundig gemiddelde gebruikt.
Of hij wilt andere curiositeiten oplossen
Hij wil!
Verder wilde ik hier gisteravond wat over gaan uitzoeken. Dus goede timing.

Door Tweakers user Jeroenneman, dinsdag 16 februari 2016 14:42

Ik heb me trouwens laten vertellen dat als je vergelijkingen in een tekst stopt, je per vergelijking de helft van de lezers verliest. Dus gefeliciteerd als je het tot hier geschopt hebt.

Telt het ook als je met pijnlijke gedachten aan de middelbare school snel bent doorgescrolled naar de comments sectie om te kijken of iemand daar een TL;DR had neergezet? ;)

Dit gaat voor mij persoonlijk echt way too far, maar ik vind het leuk om te zien dat dit voor anderen blijkbaar begrijpelijk of zelfs makkelijk kan zijn.

Door Tweakers user Sissors, dinsdag 16 februari 2016 21:24

[5] Serieus. Volgens mij kan het niet anders dan dat fysici gewoon in de lach moeten schieten telkens wanneer ze zien hoe wiskundigen een duizelingwekkend aantal beduidende cijfers eisen! In de wetenschap, en het dagelijkse leven, ben je vaak al blij met twee of drie. Zie [1].
Ach, wiskundige moeten weer huilen elke keer als ze zien hoe er iig in de elektrotechniek met oneindig, delen door nul, etc wordt omgegaan :).

Door Tweakers user DonJunior, woensdag 17 februari 2016 09:09

Damn wat is dit bij mij ver weg gezakt ... Ik moest er goed voor gaan zitten en nog is het lastig. Toch maar goed dat ik gestopt ben met de lerarenopleiding Wiskunde een aantal jaren geleden.

Door Tweakers user ChemRikki, woensdag 17 februari 2016 11:48

Ik wil toch even noemen dat ik het merkwaardig vindt om een stuk te lezen met de titel 'Het getal e' dat ook echt inhoudelijk hierop ingaat, zonder de naam Euler tegen te komen. Niet ťťn maal!

Verder prijzenswaardig om iedereen wat mathematisch inzicht aan te bieden, ik juich het toe :)

Door Tweakers user Sir Isaac, woensdag 17 februari 2016 14:25

ChemRikki schreef op woensdag 17 februari 2016 @ 11:48:
Ik wil toch even noemen dat ik het merkwaardig vindt om een stuk te lezen met de titel 'Het getal e' dat ook echt inhoudelijk hierop ingaat, zonder de naam Euler tegen te komen. Niet ťťn maal!

Verder prijzenswaardig om iedereen wat mathematisch inzicht aan te bieden, ik juich het toe :)
Dat is niet nodig. In de wiskunde wordt toch ieder resultaat genoemd naar die persoon die er voor het eerst aan gewerkt heeft na Euler.

Door Tweakers user ChemRikki, woensdag 17 februari 2016 14:54

Sir Isaac schreef op woensdag 17 februari 2016 @ 14:25:
[...]

Dat is niet nodig. In de wiskunde wordt toch ieder resultaat genoemd naar die persoon die er voor het eerst aan gewerkt heeft na Euler.
...behalve bij het getal e dan, want er wordt in het algemeen van uitgegaan dat de e voor Euler staat en niet voor de persoon die er na Euler aan gewerkt heeft...

Door Tweakers user Banaanx, donderdag 18 februari 2016 16:21

Leuke oefening: wat is de afgeleide van xx? (de oplossing snijdt de y-as bij x = 1/e :) )

Reageren is niet meer mogelijk