Top 3 wiskunde-ergernissen

Door witeken op maandag 28 maart 2016 17:00 - Reacties (16)
Categorie: -, Views: 5.757

(Het feit dat er geen hoofdletters zijn voor cijfers niet meegerekend...)

Drie wiskunde-ergernissen

In mijn vorige twee blogs over e en calculus heb ik het over het beste van wiskunde gehad. Nu komt het slechtste aan bod. Merk trouwens telkens op dat het probleem niet aan de wiskunde ligt, maar aan de menselijke representatie ervan.

3. Sommatieteken
Deze lijst start meteen al met een erg lage noot: het sommatieteken. Ten eerste is het een log en onelegant symbool. Maar ten tweede en voornaamste is het totaal onbruikbaar, waardeloos en verwarrend. Het enige nut dat het teken immers heeft is voor luie wiskundigen om hun notatie te verkorten. Maar in tegenstelling tot andere notaties in de wiskunde maakt dat het er niet beter op. Waarom? Omdat alleen computers iets met die notatie kunnen. Dat is het punt: het is onleesbaar. Als je een uitdrukking ziet met dat symbool begrijp je er helemaal niets van. Je ziet dat teken en het enige dat je weet is dat je een gaziljoen termen zal moeten optellen, maar never mind om uit te zoeken welke precies. De enige manier om te begrijpen waar het voor staat is… door het voluit te schrijven. Maar dat doet natuurlijk het hele nut ervan teniet.

Vergelijk trouwens met het mooie en elegante integratieteken <3.

Voorbeeld: binomium van Newton.

http://www.masterandmargarita.eu/images/02themas/binomium.jpg

2. Vierkantswortel
Het gaat van kwaad naar erger. Sommatietekens komen relatief weinig voor, maar met vierkantswortels word je constant geconfronteerd. Een afzichtelijke naam voor een nog lelijker notatie.

De vierkantswortel is niet alleen verwarrend qua notatie en pijnlijk om mee te werken omdat je in plaats van de oude vertrouwde geliefde haakjes een hoedje boven je wortel moet tekenen, al is dat nog het minste van je zorgen. Daarnaast verbergt het teken echter de pracht die eronder schuilgaat: namelijk de symmetrie ten opzichte van het heffen tot machten. Meer nog, de vierkantswortel is simpelweg niets meer dan het heffen tot een macht, namelijk tot de één tweede. Maar toch wordt als standaardnotatie niet geaccepteerd dat je breuken in je exponent schrijft. Waarom? Is het punt van wiskunde niet net om steeds te abstraheren. Waarom mogen de natuurlijke exponenten dan niet tot irrationele geabstraheerd worden?

Hier nog een laatste praktisch bezwaar ertegen: het is pijnlijk om met wortels te rekenen. Hetzelfde geldt trouwens voor negatieve exponenten die als breuken met positieve exponenten geschreven worden. Het gebruik van het wortelteken vraagt gewoon om rekenfouten. Die zou je niet krijgen als je gewoon 1/2 als macht zou gebruiken.

Om trouwens nog maar te zijgen van hogeremachtswortels. Nee, bedankt.

http://riazidan.weebly.com/uploads/1/0/0/7/10075002/trig_ratios_of_standard_angles.jpg

1. Pi

http://k36.kn3.net/taringa/1/0/5/6/2/1/03/niggaplx/CFF.jpg?4618

In de wiskunde gebruikt men geen graden maar radialen. Bij een radiaal start je rechts op de cirkel en ga je exact de straal van de cirkel rond de omtrek in tegenwijzerzin. Dat blijf je doen tot je terug aan het begin bent. Het blijkt dat er twee pi radialen zijn, omdat de omtrek van een cirkel immers 2pi keer de straal is. De straal past met andere woorden twee pi keer in de omtrek.

Dit is echter belachelijk: pi heeft niets met de straal, waarmee bij radialen gerekend wordt, te maken, maar met de diameter. En nog idioter is dat je dus met 2pi moet rekenen per rondje rond de cirkel. Zou de wereld niet normaler zijn als de omtrek in één eenheid zou doortrokken worden? Als je dan een kwart van een cirkel wilt aanduiden, zou je spreken over tau/4 radialen. Nu is een kwartcirkel gelijk aan pi/2 radialen. Waanzin.

Het was onlangs trouwens pi-dag. Voor nog meer discussiemateriaal verwijs ik naar een aantal video’s van Numberphile en Vihart:

YouTube: Tau replaces Pi - Numberphile
YouTube: Tau vs Pi Smackdown - Numberphile

YouTube: This Pi Day is Round
YouTube: Anti-Pi Rant, 3/14/15

Maar het échte probleem is dit – alsof het vorige nog niet irritant genoeg was. De oplossing die men ziet om tau aan de wereld bekend te maken is door het eerst in tekstboeken als alternatief te vermelden, en gezien het nut ervan zal het steeds meer en meer aanslaan tot de momentum zo groot is dat tau ook als evenwaardig of beter onderwezen zal worden.

Echter, dit kan onmogelijk de oplossing zijn. Waarom? Omdat tau helemaal niet gelijk is 2 pi!

Dat zou immers nog steeds de omgekeerde wereld zijn. Kijk nog eens goed naar de afbeelding. Is het niet overduidelijk dat pi twee benen heeft, terwijl tau, dat dubbel zo groot zou zijn, maar de helft van de benen heeft?! Belachelijk.

Exact, en dat is ook waarom er al veel vroeger (zo leert Wiki), voor de seminale paper in 2001 van Bob Palais [“Pi is wrong!”, http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf], al voorstellen waren om tau te introduceren in de wiskunde… als de helft van pi.

Pi veranderen naar 6.28… zou dus niet alleen wiskundig logischer zijn, maar esthetisch ook veel aangenamer.

Pi = 2.Tau = 6.28318530718…

(En zo hebben de voorstanders van pi ook een compromis.)

Extra: lading in de fysica
Oké, even buiten beschouwing gelaten dat de lading van protonen als plus en elektronen als negatief sowieso al arbitrair is, maar waarom blijft men maar aan de oude conventie vasthouden dat stroom een positief transport van protonenladingen is? Telkens hoor je dan leerkrachten en professoren zeggen dat men dat dit niet logisch is maar dat men dit doet om historische redenen. Het grappige is dat letterlijk élke onderwijzer dit zegt. Waarom verandert men die conventie dan niet als letterlijk iedereen het er mee eens is? Een interessant voorbeeld van ‘het systeem’ dat mensen in haar greep houdt en tot traagheid leidt.

Er zijn natuurlijk nog veel andere voorbeelden hiervan. Als je er eentje hebt, drop die dan in de comments.

Volgende: Het getal e 02-'16 Het getal e

Reacties


Door Tweakers user rolfvanl1, maandag 28 maart 2016 17:15

Top 1 ergernis, typefouten in de titel 8)7 Wisunde = wiskunde

Door Tweakers user witeken, maandag 28 maart 2016 17:18

Haha, ik kan niet geloven dat ik die niet gezien heb. :+

Door Tweakers user Liveshort, maandag 28 maart 2016 17:44

Een aantal opmerkingen:
3. Het sommatieteken wordt in de wis- en natuurkunde echt niet alleen gebruikt om dingen ingewikkelder te maken. Ik moet inderdaad toegeven dat het vrij vaak wordt toegepast op een plek waar het eigenlijk niet zo logisch is. Echter heeft de compacte manier van schrijven weldegelijk voordelen in bepaalde gevallen. Soms is het namelijk eenvoudig te zien dat bepaalde vermenigvuldigingen met sommen termsgewijs grotendeels wegvallen (denk aan een som van cosinussen vemenigvuldigt met een andere cosinus onder een integraal, vanwege orthogonaliteit) of delen van termen die in het oneindige tegen elkaar wegvallen. Ze hebben zeker hun toepassingen voor de volledigheid van theorems en uitwerkingen, maar echt inzichtelijk zijn ze niet nee.

2. Wortels vind ik toch echt een stuk eleganter dan 'tot de macht een half'. In de praktijk knikker je alle wortels en machten onder de deelstreep in je eerste rekenstap toch uit je uitwerking en heb je er verder geen last van. Vervolgens schrijf je aan het einde alles weer netjes terug en als er een wortel uitkomt ben je blij, want dat ziet er gewoon fantastisch uit. :)

3. NEE! Pi is mooi zoals het is. O+ We hebben ooit met zijn allen afgesproken wat pi precies is en dat zorgt er eigenlijk automatisch voor dat iedereen na dat moment niets meer kon veranderen aan wat pi is en waar het wordt toegepast. Die factor twee hoort er nu eenmaal bij en als je even met pi hebt gewerkt is er niks geks meer aan. Als jij graag tau gebruikt kun je dat natuurlijk altijd definieren bovenaan je schrijfsels, dat verandert niets aan de rest van je verhaal. Verder is pi nu herdefinieren naar 2*pi natuurlijk het domste dat je ooit kunt doen. Hoe moeten we dan onderscheid maken tussen welke papers de oude versie van pi gebruiken en welke de nieuwe?

Extra. Om nog even door te gaan op het einde van mijn verhaal over pi hierboven: Tja, we hebben het een keer afgesproken met zijn allen. Met de kennis van toen was dit de meest logische manier om stroom te definieren. Het nadeel van een definitie die zo diep in de wetenschap zit is dat er heel veel op voortbouwd. Zeker iets als stroom zit zo diep dat een aanpassing ervoor zorgt dat de helft van al het onderzoek opnieuw opgeschreven zou moeten worden, omdat er mintekens verkeerd gaan lopen. Verder geldt ook hier weer dat het een minor inconvinience is. Ik kan me vrij weinig scenario's indenken waarbij iemand die thuis is in de materie echt last heeft van deze definitie, want alles dat verandert is de richting van de stroom, en daarmee dus een minteken.

Door Tweakers user Sjoerdfoto, maandag 28 maart 2016 19:55

Cool, bedankt. Haha weer wat extra verwarring na een hele dag sommetjes maken over Pi en Tau (sterkteleer, hoekverdraaiing :P )

Door Tweakers user incaz, maandag 28 maart 2016 20:13

Volgens mij zou pi/tau veel meer de relatie met het vergelijkbare rechthoekige figuur uit moeten drukken. En ik zou willen beginnen met de oppervlakte, die vaak interessanter is dan de omtrek.
In dat geval zou je een cirkel met b=1 (basis, of breedte, dan kun je ook breedte en hoogte definieren voor ellipsen, maar feitelijk dus de diameter) vergelijken met een vierkant met b=1. En dan kom je op τ = 0,785... (1/4 π)

Voor de omtrek is dat ook niet zo gek, want de omtrek van een vierkant is 4*b, en een cirkel is dan dus 4*τ*b.

En je hebt het voordeel dat je eenbenige symbool kleiner is dan de tweebenige variant. :Y)

Ik weet alleen niet wat je dan als tau-day moet uitroepen ;(

Door Tweakers user GemengdeDrop, maandag 28 maart 2016 20:48

Top 3 wiskunde-ergernissen...
Ach schat... Kusje d'r op? :*)


Als je denkt dat de wiskunde makkelijker is als je even iets door twee deelt... :z .
Persoonlijk vind ik het eigenlijk wel wat hebben dat de oppervlakte van een cirkel geen factor twee heeft. Maar goed, ik zal wel oppervlakkig zijn dan :+

Elke afspraak heeft z'n voor en z'n na. En dat verhaal over dat minteken is helemaal moot. Echte natuurkundigen vrotten er gewoon arbitrair mintekens bij in net zolang totdat het resultaat ergens op slaat }> . Nuja, dat is natuurlijk niet helemaal waar, maar het komt nogal eens voor dat het teken van die lading eigenlijk maar bijzaak is. Of dat de auteur dezes onderweg een paar mintekens verloren is 8-)

En dat som-teken: ja hij is een beetje ongemakkelijk groot. Maar toch heb je zo iets nodig, want je moet de lopende variabele ergens heen kunnen zetten, de sommatiegrenzen en een eventuele conditie. Overigens, als het écht irritant gaat worden verzin je gewoon een andere 'standaard', zoals bijvoorbeeld de einstein sommatie afspraak. Maarja, dan heb je het ook over een vakgebied waar je iedere keer telkens dezelfde som op moet schrijven. Knap irritant.

Overigens:
waardeloos en verwarrend. Het enige nut dat het teken immers heeft is voor luie wiskundigen om hun notatie te verkorten
Nee, een wiskundige heeft soms gewoon een somteken nodig omdat het niet mogelijk is om het op een andere manier op te schrijven. Sommaties over oneindig veel elementen bijvoorbeeld. Bittere noodzaak, geen luiheid. Maar dat wist je vast.
Bovendien: wat wil je eigenlijk communiceren als je wèl alle termen los opschrijft :? ... Zijn ze dan allemaal belangrijk voor mij als lezer om die door te nemen? Doe eens een werkstukje over digitale beeldverwerking. Ga je dan ook alle pixels opschrijven? }:O

En die wortel: misshien heb je 'n punt. Maar eigenlijk vind ik het met een wortel teken net iets beter leesbaar dan met een tot-de-macht-half notatie. Hangt er ook een beetje vanaf. Als een bepaalde macht in één of andere context net zo goed 1/2 als 2/3 of 3/4 kan zijn, dan is het misschien duidelijker om het wortel teken niet te gebruiken voor de 1/2. Maar als je nadruk wil liggen op het feit dat iets echt fysisch een wortel verband is, dan is het aardig om dat teken ook gewoon te gebruiken.

En over je suggestie om dan maar een paar nieuwe conventies parallel aan te leren: nee. OMG-NO-WTF-BBQ-RU-SAYIN' NO. We doen dit al eeuwen zo, dus dat kan je gewoon op je buik schrijven. En je kan maar hopen dat je volgende keer met pi-day tot inzicht bent gekomen. Anders bak ik er een in de vorm van een pi en dat gaat die in je gezicht. Zo ongeveer dus }>

Door Tweakers user Sissors, maandag 28 maart 2016 21:34

Hoewel ik geen groot fan ben van het sommatieteken, kan je er toch echt niet onderuit bij alle sommen die tot oneindig (of iig ver) doorgaan, en dat zijn er best een hoop. Oftewel we kunnen hem allemaal niet leuk vinden, maar hij gaat nergens heen.

De wortel is duidelijker en eleganter als je hem kan gebruiken imo.

Als laatste die hele Pi/Tau discussie, is die nu nog gaande? Het is een klein groepje dat een jeugdtrauma aan Pi heeft overgehouden ofzo. Sommige vinden nu dat Pi twee keer zo groot hoort te zijn dan hij is, en je kan ook youtube filmpjes vinden van degene die vinden dat hij de helft moet zijn. Ja er is best wat voor te zeggen om Pi twee keer zo groot te hebben als hij nu is, maar de hoeveelheid moeite om dat te veranderen tov het 'voordeel' van niet zelf met twee te moeten vermenigvuldigen is veel te groot imo.

Maar je kan natuurlijk bij je wiskunde tentamens altijd beginnen met: tau = 2*pi. Nog een beter idee: Misbruik tau daar niet voor, die heeft al andere betekenis die vaak in combinatie met pi wordt gebruikt: https://en.wikipedia.org/wiki/Time_constant

Door Tweakers user witeken, maandag 28 maart 2016 22:11

Voor oneindige sommen heb je:

+ . . .

Misschien voor pure wiskundigen niet mooi, maar gewone normale mensen leren net via inductie i.p.v. deductie: als je een paar voorbeelden ziet/doet, kan je het voor alles doen.

Door Tweakers user Sissors, maandag 28 maart 2016 22:18

Hoe zou je zonder sommatieteken bijvoorbeeld de som van n = 0 tot aan x van 2^-n opschrijven?

Door Tweakers user witeken, maandag 28 maart 2016 22:47

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2x

Maar goed, ik zeg ook niet dat we dat teken moet verbannen. Enkel dat je dat teken bv. best zo ver mogelijk uit de klas houdt omdat de didactische waarde ervan negatief is. Als jij en het doelpubliek erg vertrouwd zijn met de som in kwestie hou ik je niet tegen het te gebruiken.

[Reactie gewijzigd op maandag 28 maart 2016 22:51]


Door Tweakers user Liveshort, maandag 28 maart 2016 22:50

Sissors schreef op maandag 28 maart 2016 @ 22:18:
Hoe zou je zonder sommatieteken bijvoorbeeld de som van n = 0 tot aan x van 2^-n opschrijven?
Naja, waar een wil is is een weg:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^(x-1) + 1/2^x

Het wordt overigens best vaak zo gedaan in onder andere de natuurkunde. Wiskundigen kunnen dit over het algemeen niet zo goed hebben, omdat je strikt gezien niets zegt over wat or zich op de puntjes bevindt. O-) Natuurlijk is een somteken in dit geval korter en wat mij betreft net zo inzichtelijk, maar er zijn zeker gevallen waar deze notatie de voorkeur geniet.

[Reactie gewijzigd op maandag 28 maart 2016 22:54]


Door Tweakers user Sissors, maandag 28 maart 2016 22:57

True zo kan je het inderdaad schrijven, al vind ik dan 1 + 1/2^1 + 1/2^2 ... wel duidelijker.

Maar nog steeds schrijf ik het liever met sommatieteken. Vooral als je dan ook nog eens algebra erop gaat toepassen en zaken herschrijven, dan is het gewoon makkelijker.

Overigens kunnen wiskunde wel meer niet hebben, die zijn redelijk makkelijk over de zeik te krijgen ;).

[Reactie gewijzigd op maandag 28 maart 2016 23:09]


Door Tweakers user H!GHGuY, dinsdag 29 maart 2016 11:59

Als dit al reden is om storage en bandbreedte te verspillen, wacht dan maar tot je eens in de echte wereld terechtkomt... Ik vermoed dat je ofwel veel tijd zal spenderen met blogs schrijven of dat je't na het 3de schrijfsel opgeeft.

En om je alsnog credit te geven voor je blog: je hebt de fantastische ontdekking gedaan dat er nog een soort problemen bestaat die erger zijn dan FWP's! Als je'r nu nog een naam aan kan geven dan hebben we dit ook weer gehad.

Door Willem, dinsdag 29 maart 2016 16:36

EN ik dacht dat ik best wel goed was in wiskunde maar petje af hoor

Door Tweakers user Gamebuster, dinsdag 29 maart 2016 16:53

1e wat ik doe zodra ik ook maar iets met driehoekjes moet doen in code:


code:
1
const double PI2 = 6.28318530718



+1 om PI te veranderen in de huidige 2-PI

[Reactie gewijzigd op dinsdag 29 maart 2016 16:53]


Door Tweakers user aap, woensdag 30 maart 2016 10:45

Waar je je al druk over kunt maken....

Dat pi eigenlijk 2 pi had moeten zijn en e -e. Tja, dat was wellicht handiger geweest, maar nu doen we het zo en ik zie het probleem niet. Als je daar in de brugklas al heel erg moeite mee hebt, dan moet je gewoon maar geen betarichting kiezen, want anders ga je het later nog erg zwaar krijgen.
Het zou ook handiger zijn als ze overal in de wereld rechts (of links) reden, maar het is te veel gedoe om dat nu nog te veranderd, dus deal with it.

En dan die sommatie- en worteltekens: dat is gewoon een notatieconventie. Als jij het anders wilt schrijven, dan doe je dat toch? Maar dan ook niet klagen als mensen je artikelen niet willen lezen.

Reageren is niet meer mogelijk