The Machine wordt realiteit in 2016... maar niet door HP

Door witeken op dinsdag 29 december 2015 08:00 - Reacties (8)
Categorie: -, Views: 4.941

HP’s ambitieuze The Machine wordt realiteit in 2016… maar niet door HP

Wie de technologieactualiteit al een tijdje volgt, zal ongetwijfeld gemerkt hebben dat er aan ideeŽn in de industrie geen gebrek is. Zelfs start-ups en bedrijven die ook effectief aan radicaal nieuwe innovaties werken zijn er in overvloed. Toch hoor je van veel van die bedrijven of technieken na een initiŽle aankondiging in de media nog weinig. Steeds blijkt dat de stap van idee of prototype naar commercieel product een immense uitdaging is.

Zelfs de grootste bedrijven kunnen schuldig zijn aan het overhypen van toekomstige producten die nog jaren van de geplande releasedatum zijn, laat staan de feitelijke release. HP was zo’n bedrijf dat met heel veel fanfare zijn The Machine aankondigde in 2014. Dat had een nieuwe high-performance computerarchitectuur moeten worden die op een eigen Machine OS zou draaien en in de eerste plaats gefocust zou zijn op het geheugen. De machine zou beschikken over een immense hoeveelheid snel en non-volatile geheugen met erg lage latency naar de processorkernen die uiteraard ook in overvloed aanwezig zouden zijn.

Klinkt indrukwekkend in theorie, en dat is ook hoe het in de media ontvangen is, maar een jaar later was HP al genoodzaakt om het geheugen te veranderen van hun eigen unique selling point, namelijk de memristor genoemd, naar het conventionele DRAM. Een half jaar verder is duidelijk dat The Machine in de heel nabije toekomst toch werkelijkheid zal worden. Maar dan niet met privaat IP van HP, maar met commercieel verkrijgbare technologie… geproduceerd door Intel.

The Machine: Een nieuwe geheugenhiŽrarchie
“There will be a new operating system, a new type of memory (memristors), and super-fast buses/peripheral interconnects (photonics). Speaking to Bloomberg, HP says it will commercialize The Machine within a few years, “or fall on its face trying.”

The Machine is een nieuwe aanpak van de computerarchitectuur en wilt meer bepaald de omgang met het geheugen veranderen. Conventioneel heeft het geheugen altijd in dienst gestaan van de processor (of andere rekeneenheden). De onderste laag bestaat uit de registers die het dichts bij de rekenkernen staan, gevolgd door de L1- en later ook L2-, L3- en tegenwoordig soms L4-cache, met uitzondering van die laatste (Intels Crystal Well) zijn zij allen opgebouwd uit SRAM met 6 transistors. Dat is het einde van het geheugen op of rond de CPU, waarna je naar het nog steeds snelle DRAM gaat, bestaande uit een capacitor en een transistor. Tegenwoordig ga je dan naar NAND, en tot slot heb je een harde schijf (en tape).

De reden voor die hiŽrarchie is simpelweg de vaststelling dat ťťn grootte (ťťn geheugentechniek) niet overal past. Als je eis is om heel snel geheugen te maken, ga je bij een techniek uitkomen die erg duur is. Als je de prijs wilt verlagen, zal je bij inferieure technieken uitkomen. Concessies moeten gemaakt worden. Algemeen ga je van heel snel naar traag, en van heel weinig naar heel veel geheugen. Daar komt nog bij dat alles boven NAND (inclusief de CPU zelf) volatile is, wat betekent dat de informatie verloren gaat als je de stroom uitschakelt of zelfs niet constant ververst (DRAM).

http://computerscience.chemeketa.edu/cs160Reader/_images/Memory-Hierarchy.jpg

HP’s bedoeling was dat er weggedaan zou worden met alle geheugen onder de CPU, en ze die vervangen door de memristor. Zoals op de tijdlijn van het artikel van IEEE Spectrum te lezen is [6], is HP al sinds 2008 bezig met de ontwikkeling van de memristor. De verwachting in 2011 was om in 2013 in productie te gaan.

De memristor wordt naast de inductor, capacitor en resistor geplaatst als een vierde passieve component. De prefix mem- verwijst naar het feit dat de component herinnert welke stroom erdoor is gegaan, wat een invloed heeft op de – variabele – weerstand van de component. Hij kan dus gebruikt worden als geheugencel voor opslag. Maar nog beter, een memristor kan schakelen in de orde van nanoseconden, waardoor het qua prestaties dus ook DRAM vervangt. (Ter vergelijking: de latency van SSD's wordt gemeten in microseconden.) De memristor kan in een driedimensionale cross-bar-structuur gelegd worden, wat in principe een eenvoudige structuur is en dus goed zou kunnen schalen met Moore’s Law: er zouden 3nm-memristors in het lab zijn. NAND, daarentegen, is gebaseerd op het bewaren van elektronen in cellen, wat rond de 10nm-node ongeveer ten einde komt gezien je te weinig elektronen hebt. Men kan meerdere lagen op elkaar stapelen, volgens HP initieel vier op een 25nm-procedť in 2013, wat een dichtheid geeft die overeen zou komen met 256Gbit. Tot slot heeft men in 2010 ontdekt dat de memristor ook als logische schakeling gebruikt kan worden.

Als kers op de taart wilde HP de koperen verbindingen van geheugen naar CPU vervangen door lichtsnelle silicon photonics. Allemaal mooi en leuk, totdat HP in juni aankondigde de memristor te laten vallen. Het enige wat dan nog overbleef was feitelijk een machine met heel veel DRAM, al is het ongetwijfeld minder dan mogelijk was geweest met de memristor, gezien de relatief lage dichtheid van DRAM. Ook het OS werd vervangen door een variant van Linux. Volgens HP zou er in een later stadium een versie komen met phase-change memory.

Het beeld ziet er dus niet rooskleurig uit. Hoewel HP de guts heeft getoond het gevestigde paradigma te willen verbreken, lijkt het nu gedoemd tot falen. Of toch niet?

Enter Intel
Grand announcements about products that are still years away are rare in the computer industry. “We don’t need to talk about stuff five years from now,” Juan Loaiza, Oracle senior vice president for systems technology, told Bloomberg Businessweek.

De quote doet me denken aan IBM, dat eerder dit jaar ook nogal hoog van de toren blies met wat zogenaamd de eerste 7nm-testchip zou zijn. Dit heb ik besproken in mijn blog Intel en Innovatie. De realiteit is echter dat er meestal niet gesproken wordt over producten die je effectiťf zult kunnen kopen in de toekomst. Bedrijven houden hun geheime plannen en unique selling points immers graag dicht bij de hand om de concurrentie niet te veel inzicht te geven.

Zo was het dus dat Intel samen met JV-partner Micron een maand na HP’s teleurstellende nieuws een radicaal nieuwe technologie aankondigde: 3D XPoint. Hoewel Intel heeft ontkend dat het om phase change memory gaat, is het er naar alle waarschijnlijkheid een variant op [1]. Hoewel het iets heel anders is dan de memristor, zijn de gelijkenissen sprekend: het wordt geproduceerd op een 20nm-procedť, eveneens met een cross-bar-layout, en het is driedimensionaal met initieel twee lagen. Ook IMFT claimt dat er tien jaar aan gewerkt is en dat het volgens Moore’s Law kan schalen, en dat de karakteristieken bij het verkleinen ook nog zouden verbeteren. De derde mogelijkheid om de capaciteit te vergroten is om meer dan ťťn bit per cel op te slaan. Initieel gaat het om een die van 128Gbit – wat dus overeen zou komen met de 256Gbit bij gebruikt van vier lagen zoals HP.

Er zijn weliswaar twee minpuntjes: de duurzaamheid is 1000x die van NAND, maar dus niet praktisch onbeperkt zoals DRAM [4]. Daarnaast zal de latency ongeveer een orde van grootte trager zijn dan DRAM, dus niet alle toepassingen gaan ervan verbeteren. Officieel positioneert Intel 3D XPoint niet als een vervanger van NAND of DRAM, maar realistischer gezien als een nieuwe technologie tussenin beide.

http://blogs-images.forbes.com/antonyleather/files/2015/07/cross_point_image_for_photo_capsule1.jpg
http://blogs-images.forbe...ge_for_photo_capsule1.jpg

Maar nu komt het. Het grote verschil met de memristor? 3D XPoint zal in 2016 al verkrijgbaar zijn in SSD’s, en zal met het Skylake-EP (codenaam Purley) in 2017 ook voor het datacenter beschikbaar komen. Een jaar na de aankondiging dus, een wereld van verschil. Zal HP overschakelen op 3D XPoint? Wie zal het zeggen, maar het is plausibel, zeker gezien de timing.
Jim Handy, an analyst at Objective Analysis, says he suspects those companies could well have convinced then HP that their [3D XPoint] memory is “a better or more timely solution.”
The Machine had nog een tweede innovatieve verandering: silicon photonics. Ook hier zal het niet HP zijn dat het product op de markt brengt, maar wel de leider van silicon-technologie. Vorig jaar kondigde Intel aan dat eerste producten begin 2015 geleverd zouden worden, maar dat zal nu begin 2016 worden wegens uitstel door problemen [2], maar volgens 451 Research was de oorzaak de beslissing om de productie vaan 200mm- naar 300mm-wafers te verplaatsen [10] (een interessant artikel voor wie wat meer technische details wilt). Desondanks hebben al 2 van de 7 grootste cloudproviders de technologie gesampled. Het bedrijf verwacht dat de TAM in 2020 $5B zal zijn, en al $1B in 2016.

Na het schrijven van dit artikel is een nieuwsbericht uitgekomen waarin Amerikaanse onderzoekers erin geslaagd zijn om op een bestaand 45nm-procedť photonics met elektronica te integreren in een chip met 70M transistors. Ik ben nergens technische informatie tegengekomen over Intels silicon photonics, dus ik weet niet goed hoe die zich met elkaar vergelijken. In het artikel op Tweakers was wel een vraag hoe belangrijk deze ontwikkeling is, wat ik wil beantwoorden met een quote van een deskundige [7]:
“The challenges of silicon photonics remain the same as they have always been: this includes too much optical loss, too much power dissipation, too much chip area, and so on,” Levi says.
Ik vermoed dat hij hier doelt op silicon photonics gebruikt als interconnect in chips zelf, iets wat Intel en wellicht TSMC en Samsung trouwens ook onderzoeken. De voordelen van silicon photonics voor communicatie op langere afstanden tot 2km zijn de grootte en gewicht van de kabel versus koper (form factor), lager verbruik en kosten. Op termijn kan de silicon photonics ook in de processorchip geÔntegreerd worden.

http://i.imgur.com/I8OLfhX.png

Tijdens het opzoekwerk kwam ik op een interessante uitleg in Tweakers coverage van IDF 2004 [9] -- 2004! (En toen was de ontwikkeling al 5 jaar bezig.) Het nieuws komt trouwens een paar maand nadat Imec al een mijlpaal meldde voor silicon photonics [8]. (Al is mijlpaal natuurlijk relatief als een ander bedrijf de verkoop ervan al start, iets wat ook IBM ondervindt [11].)
The basic challenge in silicon photonics is the fact that silicon is also the material used for fiber-optic cables (glass), and the frequencies chosen for optical signals are precisely where silicon is most transparent. To create or detect these frequencies requires the use non-silicon materials that react with light, and to build electro-optical circuits on existing lines requires adapting those processes to include these new materials.
Tot slot heeft Intel ook een vervanger voor Inifiniband, Omni-Path Architecture genaamd, voornamelijk voor HPC-doeleinden. Ook hier is integratie in silicon de sleutel, iets wat de industrie al sinds het begin drijft door Moore's Law. Initieel wordt het op dezelfde package als Knights Landing geplaatst, maar in de toekomst zal het op de die zelf komen. (Zie bv. ook de integratie van FPGA's met Intels overname van Altera: in 2016 als MCP, maar in de toekomst op de die.)

Wat bij beide onderscheidende features opvalt, is dat ze met het geheugen te maken hebben. CPU's en GPU's blijven steeds sneller worden door de exponentiŽle toename van rekenkernen, maar die moeten natuurlijk gevoed worden door data. Als je dat niet kan, heb je weinig aan alle TFLOPS, wat tevens de reden is voor het gebruik van HMC bij de 14nm Xeon Phi die in H1'16 in gebruik zal genomen worden (niet te verwarren met HBM, al zijn beide vergelijkbaar). Het transport van data neemt daarnaast een significante hoeveelheid energie in beslag, dus het is geen verrassing dat men elke schakel van het datavervoer probeert te verbeteren, van de interconnect op de chip tot de exascale supercomputers.

Conclusie
The Machine ziet er anno 2015/2016 helemaal niet meer zo revolutionair uit als in 2014 beloofd was. Gelukkig zijn er echter bedrijven die wťl in staat zijn om innovatie naar de marktplaats te brengen, ook al zijn ze terughoudend om concrete informatie te geven over technologieŽn die zich nog in het R&D-stadium bevinden.

Maar eens ze aangekondigd zijn, kan het snel gaan. Of dit bijvoorbeeld het geval zal zijn met de VISC-architectuur [5] valt nog af te wachten, al lijkt de kans klein (niet te verwarren met de RISC-V ISA). Als het bedrijf echt een opmerkelijke verbetering heeft, zal het eerder overgenomen worden. Voor de geÔnteresseerden, volgende heeft een Intel CPU-architect me verteld.
“Sounds like hardware accelerated code morphing/dynamic translation. Code morphing is still a developing field and you can see the inconsistent performance in Project Denver. So in my opinion, it's why have they not implemented this YET? And that's because it still needs work and development. You have to beat the status quo to become the new status quo.”
Wat The Machine betreft, zullen de componenten die het systeem moeten onderscheiden van de gevestigde orde in de loop van 2016 beschikbaar komen. Dan zal niet enkel HP The Machine werkelijkheid kunnen doen worden, maar zullen andere bedrijven dat eveneens kunnen.

Oh, en hoe zit het voor de gewone consument? Buiten de Optane SSD’s die volgend jaar zullen verschijnen, zal ook silicon photonics zijn weg vinden naar de marktplaats, onder de naam Thunderbolt [3].


Leesvoer
[1] http://seekingalpha.com/a...6-3d-xpoint-not-the-point en http://seekingalpha.com/article/3774746-micron-tainted-love
[2] http://www.pcworld.com/ar...-photonic-networking.html en http://www.theregister.co...les_cant_handle_the_heat/
[3] http://spectrum.ieee.org/...intel-talks-thunderbolt-3
[4] http://spectrum.ieee.org/...ow-they-cripple-computers
[5] http://www.extremetech.co...ugh-weve-been-waiting-for en http://techreport.com/new...ased-on-visc-architecture
[6] http://spectrum.ieee.org/...-hpes-the-machine-deliver
[7] http://spectrum.ieee.org/...tonic-interconnects-built
[8] nieuws: Imec integreert lasers in siliciumwafers voor photonics
[9] reviews: Vooruitblik en eerste persdag Intel Developer Forum
[10] https://451research.com/report-short?entityId=84332
[11] http://www.extremetech.co...package-silicon-photonics http://www.extremetech.co...t-to-break-100gbs-barrier (Nvm het gebruik van inaccurate woorden als "first ever".)

* The Machine & memristor
http://www.extremetech.co...ors-and-silicon-photonics
http://www.extremetech.co...conventional-technologies
http://www.extremetech.co...works-like-brain-synapses
https://en.wikipedia.org/wiki/Memristor
nieuws: HP werkt aan nieuw type computer met memristors en optische datacommunicatie
nieuws: Memcomputer verwerkt data op vergelijkbare manier als menselijk brein

* 3D XPoint, silicon photonics en Omni-Path
http://www.anandtech.com/...mance-endurance-than-nand
http://www.nextplatform.c...point-memory-performance/
http://files.shareholder....NGNVM_Final_CROOKE_nn.pdf (pdf)
http://files.shareholder....SiPh_Final_BJORLIN_nn.pdf (pdf)
http://www.nextplatform.c...e-systems-with-omni-path/
http://www.intel.com/cont...ture-fabric-overview.html
https://ramcloud.atlassia...Date=1441327130864&api=v2 (pdf)
http://www.hpcwire.com/20...kes-center-stage-at-sc15/
http://www.anandtech.com/...s-omnipath-network-fabric
http://www.techrepublic.c...ize-data-centers-in-2015/
http://www.intel.com/cont...n-photonics-research.html
http://spectrum.ieee.org/...ronics/linking-with-light

http://cdn.static-economist.com/sites/default/files/imagecache/original-size/images/2015/04/blogs/economist-explains/20150425_woc302.png

Update: De lezer kan eventueel ook geÔnteresseerd zijn in volgende technische serie van The Next Platform: Drilling Down Into The Machine From HPE.

Calculus in 1000 woorden

Door witeken op maandag 21 december 2015 08:00 - Reacties (15)
Categorie: -, Views: 4.672

(PDF-versie: klik hier)

Calculus in 1000 woorden

Calculus is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met veranderingen van algebraÔsche functies wanneer deze met heel kleine hoeveelheden veranderen. Dat heet de differentiaalrekening. Net zoals je maal en gedeeld door hebt, en je exponentiŽle en logaritmische functies hebt, bestaat er ook de omgekeerde bewerking om het ‘totaal’ van kleine hoeveelheden terug te volmaken. Die tweede tak heet de integraalrekening. Ik begin chronologisch.

(Hoewel velen wellicht al kennis hebben van onderstaande, denk ik dat het toch wel eens interessant kan zijn om het op deze manier te benaderen (pun), vanuit een iets ongebruikelijker perspectief.)

Wie ervaring met algebra heeft, weet dat algebra functies bestudeert, waarbij de veranderlijke y afhangt van de onafhankelijk veranderlijke x. Je onderzoekt de functie, die je op een assenstelsel kan tekenen, van y die verandert als je steeds een andere waarde van x ingeeft in je functievoorschrift. Het aanbod bestaat uit constante functies (evenwijdig met de x-as), rechte lijnen, parabolen, hyperbolen, goniometrische en cyclometrische functies, en logaritmische en exponentiŽle functies.

Waar we ons in de differentiaalrekening mee bezighouden, is ons afvragen hoeveel y verandert als je x verandert. Je onderzoekt de waarde van verandering. Of in het Engels:rate of change. Wat is, met andere woorden, het verband -- of liever: de helling -- tussen opeenvolgende x’jes? Als je dat verband zoekt voor een functie, ben je aan het afleiden. Je zoekt de afgeleide. IntuÔtief betekent dit dat je het gemiddelde zoekt tussen 2 x-waarden: dat is een quotiŽnt dat zegt hoeveel (y) je aflegt per eenheid van iets anders (x). Maar omdat we dit heel precies willen weten, zoeken we het verband tussen x-waarden die onbeperkt dicht bij elkaar liggen. Dus je vraagt je af: stel dat ik x met een heel klein beetje doe toenemen, met hoeveel stijgt of daalt de y-coŲrdinaat dan?

Dit brengt ons bij de eerste notatie: dx = een klein beetje van x.

Met die informatie kunnen we al twee afgeleiden bepalen. Eerst die van een constante functie. Hoe verandert de waarde van y ten opzichte van de “vorige” y (die dus dx eerder ligt op de grafiek)? De positie blijft steeds hetzelfde, dus het verband is 0. De tweede functie is cx, met c elke willekeurige constante naar keuze. Als je x verhoogt met 1, dan neemt y toe met c. Als je x verhoogt met 2, dan neemt y toe met 2c, wat te vereenvoudigen is tot c. De mate van verandering is dus evenredig met c (zonder de x).

Voor moeilijkere functies blijft het niet zo simpel, en we willen ook een iets rigoureuzere notatie. Hier beperk ik mezelf tot de parabool die voldoet aan y = x≤. Maar om het systeem van de differentiaalrekening uit te leggen ga ik de functie niet gebruiken. Er bestaat een veel intuÔtievere manier om het systeem duidelijk te maken. Neem een vierkant met zijde x.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/CalculusMadeEasy_ThompsonFg2%263.jpg/440px-CalculusMadeEasy_ThompsonFg2%263.jpg
https://upload.wikimedia....eEasy_ThompsonFg2%263.jpg

De oppervlakte van dit vierkant, dat we y noemen, is gelijk aan x≤. Als we de afgeleide willen bepalen, onderzoeken we dus wat er gebeurt als we x met een klein beetje laten toenemen. We beginnen met:

y = x≤

We voegen dx toe, zoals op de afbeelding te zien is. We weten dat y nu ook zal veranderen, met dy, al weten we nog niet met hoeveel. Dat maakt:

y + dy = (x + dx)≤

We werken het merkwaardig product uit.

y + dy = x≤ + 2xdx + dx≤

Omdat we een minder rigoureuze methode gebruiken, gaan we onszelf nu toelaten een kleine (illegale) verdwijntruc te doen, al zal ik die hierna wel uitleggen. We gaan dx≤ schrappen. Herinner je dat dx een kleine hoeveelheid is. Welnu, als dx als heel weinig van 0 afwijkt, hoeveel insignificanter zal dx≤ dan zijn? In dx zijn we geÔnteresseerd omdat het een kleine hoeveelheid is, maar een hoeveelheid van de tweede orde van kleinheid, zal weinig boeiend zijn. Een mens ook zal het vervelend vinden als er een vlieg op en rond hem zit, maar om een eventuele “vlieg van een vlieg”, waar die vlieg last van kan hebben, zal hij niet minder kunnen rouwen. Dit zie je ook op het schema.

y + dy = x≤ + 2xdx

We weten dat y = x≤, dus we schrappen.

dy = 2xdx

We houden ons echter bezig met de mate van verandering als dx verandert, dus we delen dx weg om een quotiŽnt uit te komen: het differentiaalquotiŽnt genoemd. Et voilŗ!

𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 2𝑥

De reden dat het interessant is om het op die manier te bekijken, als een quotiŽnt, is omdat andere veelgebruikte notaties – namelijk (hier): f'(x≤), (x≤)’ en Dx≤ – dit achterwege laten, waardoor de eigenlijke betekenis verwaarloosd wordt.

Dit kan je voor alle machten toepassen, en de algemene regel wordt dan:

𝑑𝑦/𝑑𝑥 (𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1

Als je een bepaalde waarde invult, gaat dit op de grafiek de (richtingscoŽfficiŽnt van de) raaklijn van de oorspronkelijke functie geven. In de fysica niet de gemiddelde snelheid, maar de ogenblikkelijke snelheid.

https://i.imgur.com/m2VQAqU.gif
https://i.imgur.com/m2VQAqU.gif/

Nu kunnen we inzien waarom we die dx≤ hebben verwijderd. Een raaklijn raakt een grafiek in slechts ťťn punt. Als we dx≤ hadden behouden, hadden we de helling tussen twťť punten berekend. Rigoureus zegt men dat je de limiet berekent als dx (ook wel delta x genoemd) naar nul gaat.

Verder. Aangezien het teken aangeeft of de raaklijn positief of negatief is, ga je aan de hand van de afgeleide kunnen weten of een functie stijgend of dalend in een punt is. Als je de nulpunten berekent, ga je de maxima en minima van een functie te weten kunnen komen. Maar nog interessanter: je kunt dit gebruiken om aan integraalrekening te doen.

Wat nu immers als we het omgekeerde willen doen? Stel dat we een klein beetje y hebben, dy, en we willen terug naar de “volledige” y? Ten eerste kunnen we het quotiŽnt terug ongedaan maken:

dy = 2xdx

Het enige wat we nu nog moeten doen, is een bewerking introduceren, die we langs beide leden uitvoeren, die we definiŽren om ons de volledige y te geven. De integraal. Je kan je dit anders voorstellen als dat je de som neemt van alle kleine x’jes (dx). Dit is perfect legaal, net zoals je evengoed de log kan nemen van beide leden, of wat dan ook.

∫𝑑𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥

Wat ons dus geeft:

𝑦 = ∫2𝑥𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥≤

Die laatste stap is niet moeilijk… zolang je weet welke functie, wanneer je hem afleidt, de waarde tussen het integraalteken en dx geeft. Anders zal het iets moeilijker worden ;). Voor machten is de algemene regel:

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 / (𝑛+1)

Huiswerk: bereken de afgeleide van het tweede lid.

Tot slot willen we nog de betekenis weten. Beschouw de functie y = 2x.

Als we nu even terugkomen op die 2xdx… wat is dat? Een product van twee hoeveelheden. Maar wat doe je eigenlijk wanneer je het product neemt van twee getallen (Cf. het quotiŽnt)? Je berekent een oppervlakte (lengte maal breedte)! Niet van ťťn rechthoek, maar van oneindig veel (vandaar het integraalteken) kleine rechthoekjes waarbij de breedte nul benadert. Dat is handig wanneer je de oppervlakte van figuren wilt berekenen met zijden die niet (alleen) uit rechte lijnen bestaan.

https://i.imgur.com/VnZF8PL.png
https://i.imgur.com/VnZF8PL.png

Om dit te illustreren ga ik me echter beperken tot de simpele functie y = 2x. De basis is dus x en de hoogte is 2x. Met wat simpele algebra kunnen we oppervlakte berekenen van het stuk onder de lijn, wat ons uiteraard telkens een driehoek oplevert.

https://i.imgur.com/wKFarxv.jpg
https://i.imgur.com/wKFarxv.jpg

Voor x = 1: Opp = (b . h) / 2 = (1 . 2) / 2 = 1
Voor x = 2: Opp = (b . h) / 2 = ( 2 . 4) / 2 = 4
Voor x = 3: Opp = (b . h) / 2 = (3 . 6) / 2 = 9
Voor x = 4: Opp = (b . h) / 2 = (4 . 8) / 2 = 16

En inderdaad, de oppervlakte volgt exact de waarden die de integraal van 2x voorspelt. Algemeen:

Opp = (b . h) / 2 = (x . 2x) / 2 = x≤

We hebben terug onze oorspronkelijke functie. De cirkel is rond.

Samenvatting

dy = een klein beetje van y
∫𝑑𝑦 = alles van y

Hoewel dy en dx beide oneindig klein zijn, is hun verhouding dat niet: dat is de afgeleide. De integraal is het omgekeerde proces.


Bronvermelding: Dit blog is voor een groot deel geÔnspireerd door een inmiddels gratis te lezen boek 'Calculus Made Easy'.